Lindbladische und dynamische Halbgruppen

Question

Lindbladische und dynamische Halbgruppen

Physik
Dichteoperator
Quantenmechanik
offene Quantensysteme

Jägerber48

Ich versuche, etwas mehr über offene Quantensysteme zu lernen.

Oft leiten wir Master-Gleichungen oder Heisenberg-Langevin-Gleichungen ab, wo wir so etwas haben

\begin{aligned} \dot{ρ} (T) = L [ρ (T)] \\ \dot{A} (T) = L^{†} [A (T)] \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\rho}(t) = \mathcal{L}[\rho(t)]\\ \dot{A}(t) = \mathcal{L}^{\dagger}[A(t)] \end{align}$

Hier $\rho$ ist die Dichtematrix des Systems und $A$ ist ein beliebiger Systemoperator und $\mathcal{L}$ Lindbladischer Superoperator gegeben von

L [Ö] = - \frac{ich}{ℏ} [H, Ö] + \sum_{ich} γ_{ich} (L_{ich} Ö L_{ich}^{†} - \frac{1}{2} {L_{ich}^{†} L_{ich}, Ö})

$\mathcal{L}[\mathcal{O}] = -\frac{i}{\hbar}[H,\mathcal{O}] + \sum_i \gamma_i\left(L_i\mathcal{O}L_i^{\dagger} - \frac{1}{2}\left\{L_i^{\dagger}L_i,\mathcal{O}\right\}\right)$

für jeden Betreiber $\mathcal{O}$ . Siehe zum Beispiel diesen Beitrag .

Es wird gesagt, dass die Lindblad-Form die allgemeinste Form zur Erzeugung von Markov-Dynamik bietet.

Offensichtlich muss es allgemeinere Hauptgleichungen geben, die nicht Markovsch sind. Mir scheint, dass man die allgemeinste Form auf folgende Weise ableiten könnte. Angenommen, wir haben ein System, das aus einem Tensorprodukt zweier Systeme entsteht, $A$ Und $B$ . Wir haben

\begin{aligned} ρ (T) & = U (T) ρ (0) U^{†} (T) = e^{L T} [ρ (0)] \\ \dot{ρ} (T) & = [\dot{U} (T) U^{†} (T), ρ (T)] = - \frac{ich}{ℏ} [H (T), ρ (T)] = L [ρ (T)] \end{aligned}

$\begin{align} \rho(t) &= U(t)\rho(0) U^{\dagger}(t) = e^{\mathcal{L}t}[\rho(0)]\\ \dot{\rho}(t) &= \left[\dot{U}(t)U^{\dagger}(t),\rho(t) \right] = -\frac{i}{\hbar}[H(t),\rho(t)] = \mathcal{L}[\rho(t)] \end{align}$

Wo $U$ repräsentiert den Zeitentwicklungsoperator. Wir nehmen dann die Teilspur, um sie zu erhalten

\begin{aligned} ρ_{A} (T) & = {Tr}_{B} [ρ (T)] = {Tr}_{B} [e^{L T} ρ (0)] \\ {\dot{ρ}}_{A} (T) & = \frac{D}{D T} {Tr}_{B} [ρ (T)] = {Tr}_{B} [\dot{ρ} (T)] = {Tr}_{B} [L [ρ (T)]] = L_{A} [ρ_{A} (T)] \end{aligned}

$\begin{align} \rho_A(t) &= \text{Tr}_B[\rho(t)]=\text{Tr}_B\left[e^{\mathcal{L}t}\rho(0)\right]\\ \dot{\rho}_A(t) &= \frac{d}{dt}\text{Tr}_B\left[\rho(t)\right] = \text{Tr}_B\left[\dot{\rho}(t) \right] = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)] \end{align}$

Hier $\mathcal{L}$ erzeugt eine einheitliche Dynamik für $\rho$ , während die Dynamik des Systems nachgezeichnet wird $B$ führt zu $\mathcal{L}_A$ um die nicht notwendigerweise einheitliche Dynamik zu erzeugen $\rho_A$ .

Meine Fragen lauten wie folgt.

1) Ist das, was ich beschrieben habe, tatsächlich der Weg, um die allgemeinste Form für eine Quanten-Master-Gleichung abzuleiten?

2) Ich denke, die obige Ableitung führt nicht zur Lindblad-Form, weil sie nicht unbedingt eine Markov-Dynamik erzeugt? Ist das richtig?

3) Ist es die Einschränkung, dass $e^{\mathcal{L}_A t}$ ist ein Element einer dynamischen Halbgruppe, zu der die mathematische Tatsache führt $\mathcal{L}_A$ mit dem Lindblad-Formular? Ist die dynamische Halbgruppenbeschränkung dasselbe wie das Erfordernis der Markovschen Dynamik?

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Lindbladische und dynamische Halbgruppen

Jägerber48 · Answer 1

Ich habe mehr gelesen und sehe einen wichtigen Punkt, den ich oben übersehen habe. In meiner letzten Zeile für $\dot{\rho_A(t)}$ Ich habe den Schritt gemacht

{Tr}_{B} (L [ρ (T)]) = L_{A} [ρ_{A} (T)]

$\text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)]) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)]$

Dieser Schritt ist im Allgemeinen nicht gerechtfertigt. Das Problem ist nämlich wie folgt. Ich denke, das stimmt $\text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)])$ kann als Funktion von geschrieben werden $\rho_A$ Die Abhängigkeit darf jedoch nicht nur beinhalten $\rho_A(t)$ . Insbesondere kann es davon abhängen $\rho_A$ zum Zeitpunkt $t$ sowie andere frühere Zeiten. Physikalisch entspricht dies der Vorstellung, dass Information über System $A$ könnte in das System eindringen $B$ , dann, wenn system $B$ Speicher hat, können diese Informationen in das System zurückgeführt werden $A$ was bedeutet, dass die aktuelle Zeitentwicklung des Systems $A$ wird im Allgemeinen vom vorherigen Zustand des Systems abhängen $A$ und alle früheren Zeiten.

In der Physik mögen wir Differentialgleichungen für Objekte. Wir mögen es, wenn die Zeitentwicklung für ein Objekt zur Zeit erfolgt $t$ ist auch zeitlich mit einer Funktion dieses Objekts verbunden $t$ . Wir können sehen, dass der obige Absatz diese Desiderata durcheinanderbringt. Deshalb erzwingen wir die Markovity des Systems $B$ was sicherstellt, dass die Hauptgleichung in der obigen Form geschrieben werden kann.

Ich warte immer noch auf eine Antwort von jemandem, der sachkundiger ist als ich, aber hier sind meine Antworten auf meine eigenen Fragen.

1) Was ich beschrieben habe, war nicht ganz die allgemeinste Form, weil ich die obige ungerechtfertigte Annahme gemacht habe. Das denke ich immer noch

\begin{aligned} {\dot{ρ}}_{A} (T) = {Tr}_{B} [L [ρ (T)]] \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\rho}_A(t) = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] \end{align}$

Ist die allgemeinste Form wo wir aufschreiben können $\mathcal{L}$ erzeugt eine einheitliche Dynamik für $\rho(t)$ . Leider weiß ich nicht wirklich, wie ich die RHS dieser Gleichung als Funktion von schreiben soll $\rho_A$ wie ich möchte. Sogar eine explizite Form für gegeben $\rho(t)$ Und $\mathcal{L}$ ich wüsste nicht wie ich das machen soll glaube ich..

2) Es ist richtig, dass dieses allgemeine Formular nicht unbedingt zu einem Lindblad-Formular führt.

3) Ich bin mir ziemlich sicher, dass der Zeitentwicklungsoperator, der Teil einer Halbgruppe ist, mit der Markov-Anforderung identisch ist.

Um die Frage zusammenzufassen und auf den Punkt zu bringen: ob wir überhaupt aufschreiben

{\dot{ρ}}_{A} (T) = L_{A} [ρ_{A} (T)]

$\dot{\rho}_A(t) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)]$

Wir haben BEREITS die Markov-Evolution angenommen. Das bedeutet, dass $\mathcal{L}$ muss das Lindblad-Formular [1] haben. Wenn wir etwas Allgemeineres wollen, müssen wir die Idee von aufgeben $\dot{\rho}_A(t)$ abhängig nur von $\rho_A(t)$ und nicht $\rho_A(t')$ für andere Zeiten $t'$ . Das ist etwas, was ich persönlich nicht aufgeben möchte, also bleibe ich vorerst bei der Markov-Evolution und den Lindblad-Formen!

[1] G. Lindblad, Über die Generatoren quantendynamischer Halbgruppen, Commun. Mathematik. Phys. 48, 119, (1976).

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Jägerber48

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Jägerber48

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