Verwenden der Dynamik offener Systeme zur Definition eines Quantenzustands

Question

Verwenden der Dynamik offener Systeme zur Definition eines Quantenzustands

Physik
Quantengravitation
Dichteoperator
Quantenmechanik
Quanteninformation
offene Quantensysteme

TLDR

Hintergrund

Die Dichtematrix eines abgeschlossenen Quantensystems mit Hilbertraum $\mathscr H$ entwickelt sich nach der von Neumann-Gleichung

\begin{aligned} ich ℏ \dot{ρ} = [H, ρ] . \end{aligned}

$\begin{align*} i\hbar\dot\rho=[H,\rho]. \end{align*}$ Lösung gegeben

ρ (t)

$\rho(t)$ Mit der obigen Gleichung kann die zeitliche Entwicklung von Dichtematrizen, die Subsystemen zugeordnet sind, erhalten werden, indem die Spur genommen wird

ρ

$\rho$ . Konkret, wenn

S

$S$ ist ein Subsystem (mit Komplement

S^{C}

$S^C$ , die man sich als den „Hauptteil“ des gesamten Systems vorstellen kann).

ρ_{S} (t) = {tr}_{S^{C}} (ρ (t))

$\rho_S(t)=\text{tr}_{S^C} (\rho(t))$ .

Unter vernünftigen Annahmen ist die Langzeitdynamik von $\rho_S(t)$ beinhaltet typischerweise eine Äquilibrierung in einen thermischen Zustand. Allerdings zeigen sich zu Zwischenzeiten Memory-Effekte, die man sich als Echos des Ausgangszustandes vorstellen kann $\rho_S$ die den Zustand der Masse widerspiegeln. Unter Verwendung einer Art Streuungstheorie sollte es möglich sein, die Dynamik mehrerer Instanzen von zu nutzen $\rho_S(t)$ um den Zustand der Masse zu charakterisieren.

Frage

Grundsätzlich interessiert mich, inwieweit der Gesamtzustand $\rho$ zusammen mit dem Zeitentwicklungsgenerator $H$ kann aus einer generischen einzelnen Instanz von abgeleitet werden $\rho_S(t)$ . Die grundlegendste Version der Frage ist diese: Gegeben eine physikalisch gültige Trajektorie einer Dichtematrix $\rho_S(t)$ , was ist die "einfachste" Lösung $(\mathscr H, \rho(t),H)$ auf die von Neumann-Gleichung, die die Dynamik von induziert $\rho_S(t)$ ?

Wenn Sie beispielsweise die Dynamik eines einzelnen klassischen Teilchens aus einem Ensemble harter Kugeln betrachten, könnten Sie theoretisch die möglichen Flugbahnen vieler Teilchen aufzählen, die die Dynamik des einzelnen Teilchens hervorrufen würden, das Sie tatsächlich sehen können. Natürlich können Sie immer Hilfsteilchen hinzufügen, die niemals einen beobachtbaren Effekt erzeugen, daher sind wir an „einfachen“ oder irreduziblen Hilfsensembles interessiert.

[Sie können sich das Problem als 'Umkehrung' der hypothetischen Quanten-Master-Gleichung vorstellen $\rho_S(t)$ erfüllt. Eine Herausforderung ist die Dimension des Hilbert-Raums , der die Lösung enthält $\rho(t)$ auf das inverse Problem muss gefolgert werden $\rho_S(t)$ sowie.]

Bonusfragen:

1) Ist es möglich, Kandidatenlösungen auszudrücken? $(\mathscr H, \rho(t),H)$ als Funktionale von $\rho_S(t')$ für $t'\leq t$ ?

2) Wie viel Regelmäßigkeit von $\rho_S(t)$ ist erforderlich, um sicherzustellen, dass ein Kandidat $(\mathscr H , \rho(t),H)$ gültig bis zur Zeit $\tau$ wird das Verhalten von korrekt vorhersagen $\rho_S(t')$ für $t'>\tau$ ?

Der Grund, warum ich diese Frage stelle, ist, dass es sich um einen vorläufigen Brute-Force-Rahmen zur Quantisierung eines Systems handelt, das nur auf der Dynamik lokaler Betreiber basiert.

Fortschritt

Ok, hier ist der Ansatz des Physikers. Die Idee hier ist, einen Weg zu finden, Momente der vollen Dichtematrix (und des zugehörigen Hamilton-Operators) als Funktion von zu konstruieren $\rho_S(t)$ . Die zu lösenden Gleichungen sind $\rho_S(t)=\text{tr}_{S^C}(\rho(t))$ Und $i\hbar\dot\rho(t)=[H,\rho(t)]$ , für einige geeignet $\rho$ Und $H$ und Identifizierung von $S$ , wo wir gegeben sind $\rho_S(t)$ . Daher können wir formale Deltafunktionen einführen

δ^{\infty} (ρ_{S} (T) - {tr}_{S^{C}} (ρ (T))), δ^{\infty} (ich ℏ \dot{ρ} - [H, ρ])

$\delta^\infty(\rho_S(t)-\text{tr}_{S^C}(\rho(t))),\quad \delta^\infty(i\hbar\dot\rho-[H,\rho])$ und Gewichte

\exp (- β F [H]), \exp (- β G [H])

$\exp(-\beta F[H]),\quad \exp(-\beta G[\mathscr H])$ die den Kandidaten bestrafen

H

$\mathscr H$ ,

H

$H$ Paare, die zu "groß" oder in gewissem Sinne "gekünstelt" sind. In der Grenze als

β \to \infty

$\beta\rightarrow \infty$ , scheint es vernünftig, dass es eine Möglichkeit gibt, das Problem so zu formulieren, dass eine einzigartige optimale Wahl von

H

$H$ Und

H

$\mathscr H$ existiert.

Wir können dann formale Mittelwerte über Lösungen durchführen über

\begin{aligned} ⟨ Ö [ρ] ⟩ = \frac{1}{Z} \int D H {D ρ (T) D H [ & \exp [- β F [H] - β G [H]] \times \dots \\ δ^{\infty} (ρ_{S} - {tr}_{S^{C}} ρ) δ^{\infty} (ich ℏ \dot{ρ} - [H, ρ]) Ö [ρ]]} \end{aligned}

$\begin{align*} \langle\mathcal O[\rho]\rangle=\frac{1}{Z}\int\mathscr D \mathscr H \Bigg\{\mathscr D\rho(t)\mathscr DH\bigg[&\exp[-\beta F[H]-\beta G[\mathscr H]]\times\dots\\&\delta^\infty(\rho_S-\text{tr}_{S^C}\rho)\delta^\infty(i\hbar\dot\rho-[H,\rho])\mathcal O[\rho]\bigg]\Bigg\} \end{align*}$ Wo

Z

$Z$ ist die zugehörige Zustandssumme. Implizit haben wir auch die Einschränkungen

ρ = ρ^{†}

$\rho=\rho^\dagger$ ,

tr (ρ) = 1

$\text{tr}(\rho)=1$ , und das

ρ

$\rho$ muss nichtnegativ sein.

Um Sinn zu machen $\text{tr}_{S^C}(\rho)$ Wir brauchen eine Standardmethode zur Identifizierung des Subsystems $S$ In $\mathscr H$ . Dies könnte beispielsweise dadurch erfolgen, dass man nur über Hilbert-Räume summiert, die man durch sequentielles Hinzufügen neuer Freiheitsgrade erhält $\mathscr H_S$ (und Summation über die 'Kardinalitäten' der neuen Freiheitsgrade). Sobald dies geschehen ist, können wir eine formale Version der Fourier-Darstellung der Deltafunktion verwenden, um den Integranden eher wie ein Pfadintegral aussehen zu lassen. Je nach Größe des Teilsystems und der Größe des „Umgebungsraums“ müssen dabei eine Vielzahl von Hilfsfeldern eingeführt werden. $\mathscr H$ . Wenn $\rho_S(t)$ endlichdimensional ist und eine endliche diskrete Fourier-Transformation hat, erwarten wir $\mathscr H$ endlichdimensional sein.

XXTT

Diese Frage erinnert mich an Nielsens Arbeit zur Quantencomputerkomplexität, wo er die Frage erwähnte: Wird das Hinzufügen eines Ancilla-Systems zu einem effizienteren Algorithmus führen? Nach seiner Formulierung zur Riemannschen Mannigfaltigkeit glaube ich, dass Ihre Frage mit der Krümmung der Mannigfaltigkeit zusammenhängt (zumindest, wie zuverlässig wir die Entwicklung vorhersagen können). Susskind geht in "Switchbacks and the Bridge to Nowhere" davon aus, dass eine Untermannigfaltigkeit des Problems eine konstante negative Krümmung hat, Nielsen geht davon aus, dass die Krümmung höchstwahrscheinlich negativ ist. Eine Vorhersage ist also schwierig.

XXTT

Ihre Frage 'bei einer physikalisch gültigen Trajektorie einer Dichtematrix ρS(t)ρS(t), was ist die 'einfachste' Lösung (H,ρ(t),H)(H,ρ(t),H) für die Die von Neumann-Gleichung, die die Dynamik von ρS(t)ρS(t)' induziert, ähnelt der Frage von Nielsen nach dem effizientesten Quantenalgorithmus. Aber er betrifft nur die Randbedingungen (Anfangs- und Endzustand des Subsystems), man legt mehr Beschränkungen auf die komplette Trajektorie fest.

XXTT

Wenn Ihr Hamilton-Operator zeitunabhängig ist, entwickelt sich das System als Lie-Exponential, wenn es zeitabhängig ist, dann ist die effizienteste Entwicklungsbahn je nach Metrik eine Geodäte auf der Riemann-Mannigfaltigkeit. Siehe Nielsens Artikel „Die Geometrie der Quantenberechnung“ arXiv:quant-ph/0701004v1

XXTT

Die Berechnung als Optimierungsproblem ist zumindest numerisch sehr sehr schwierig. Nielsen war nur bei 3 Qubits erfolgreich, ich habe die geodätische Aufnahmemethode verwendet, es kann bei 4 Qubits kaum funktionieren (ich brauche 2 Tage, um eine Geodäte auf meinem PC zu finden). Natürlich kann es einfacher sein, wenn Sie mit konstantem Hamiltonian arbeiten, aber dann ist die Trajektorie möglicherweise nicht "optimal". Auch unter Berücksichtigung der negativen Krümmung wird die Optimierungsstrategie letztendlich nicht funktionieren.

XXTT

Es ist schwierig zu definieren, was die „einfachste“ Lösung ist. Wenn die Flugbahn von

ρ_{s} (t)

$\rho_s(t)$ steht dann fest

ρ (t)

$\rho(t)$ ist nur ein Anstieg der Kurve

ρ_{s} (t)

$\rho_s(t)$ , dann kann die „einfachste“ Lösung als angehobene Kurve definiert werden

ρ (t)

$\rho(t)$ mit der minimalen Länge je nach Metrik im erweiterten Raum.

CR Drost

Sie haben dies wahrscheinlich bereits entdeckt, aber diese Frage wurde vom Community-Benutzer angestoßen: Diese Frage ist in der Literatur reichlich präsent, wo der Jargon, nach dem Sie suchen können, „Quantenreinigung“ als die schönste Form ist, die man annehmen kann

ρ

$\rho$ ist der eines reinen Zustands.

TLDR

Die Quantenreinigung stellt einen Zustand bereit, der induziert

ρ

$\rho$ zu einem gegebenen Zeitpunkt, liefert aber meines Wissens auch keinen Hamiltonoperator.

Roger Wadim

Statistisch physikalisch geht es darum, die Dynamik des Bades aus der eines Subsystems abzubilden. Man könnte sich jetzt der Statistik zuwenden. mech. Bücher und schlagen Sie die Formeln für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Badzustands bei gegebenem Systemzustand herunter. Eine weitere Richtung, in die man schauen sollte, ist die Entropieproduktion der Prigogine . Eines fehlt jedoch bei der Formulierung der Frage im OP: Neben der Verfolgung nimmt man normalerweise eine thermodynamische Grenze, um die irreversible Dynamik zu erhalten - sonst stehen wir vor dem Zusammenbruch und dem Wiederbelebungsverhalten .

Antworten (1)

Verwenden der Dynamik offener Systeme zur Definition eines Quantenzustands

Diese Frage erinnert mich an Nielsens Arbeit zur Quantencomputerkomplexität, wo er die Frage erwähnte: Wird das Hinzufügen eines Ancilla-Systems zu einem effizienteren Algorithmus führen? Nach seiner Formulierung zur Riemannschen Mannigfaltigkeit glaube ich, dass Ihre Frage mit der Krümmung der Mannigfaltigkeit zusammenhängt (zumindest, wie zuverlässig wir die Entwicklung vorhersagen können). Susskind geht in "Switchbacks and the Bridge to Nowhere" davon aus, dass eine Untermannigfaltigkeit des Problems eine konstante negative Krümmung hat, Nielsen geht davon aus, dass die Krümmung höchstwahrscheinlich negativ ist. Eine Vorhersage ist also schwierig.
Ihre Frage 'bei einer physikalisch gültigen Trajektorie einer Dichtematrix ρS(t)ρS(t), was ist die 'einfachste' Lösung (H,ρ(t),H)(H,ρ(t),H) für die Die von Neumann-Gleichung, die die Dynamik von ρS(t)ρS(t)' induziert, ähnelt der Frage von Nielsen nach dem effizientesten Quantenalgorithmus. Aber er betrifft nur die Randbedingungen (Anfangs- und Endzustand des Subsystems), man legt mehr Beschränkungen auf die komplette Trajektorie fest.
Wenn Ihr Hamilton-Operator zeitunabhängig ist, entwickelt sich das System als Lie-Exponential, wenn es zeitabhängig ist, dann ist die effizienteste Entwicklungsbahn je nach Metrik eine Geodäte auf der Riemann-Mannigfaltigkeit. Siehe Nielsens Artikel „Die Geometrie der Quantenberechnung“ arXiv:quant-ph/0701004v1
Die Berechnung als Optimierungsproblem ist zumindest numerisch sehr sehr schwierig. Nielsen war nur bei 3 Qubits erfolgreich, ich habe die geodätische Aufnahmemethode verwendet, es kann bei 4 Qubits kaum funktionieren (ich brauche 2 Tage, um eine Geodäte auf meinem PC zu finden). Natürlich kann es einfacher sein, wenn Sie mit konstantem Hamiltonian arbeiten, aber dann ist die Trajektorie möglicherweise nicht "optimal". Auch unter Berücksichtigung der negativen Krümmung wird die Optimierungsstrategie letztendlich nicht funktionieren.
Es ist schwierig zu definieren, was die „einfachste“ Lösung ist. Wenn die Flugbahn von $\rho_s(t)$ steht dann fest $\rho(t)$ ist nur ein Anstieg der Kurve $\rho_s(t)$ , dann kann die „einfachste“ Lösung als angehobene Kurve definiert werden $\rho(t)$ mit der minimalen Länge je nach Metrik im erweiterten Raum.
Sie haben dies wahrscheinlich bereits entdeckt, aber diese Frage wurde vom Community-Benutzer angestoßen: Diese Frage ist in der Literatur reichlich präsent, wo der Jargon, nach dem Sie suchen können, „Quantenreinigung“ als die schönste Form ist, die man annehmen kann $\rho$ ist der eines reinen Zustands.
Die Quantenreinigung stellt einen Zustand bereit, der induziert $\rho$ zu einem gegebenen Zeitpunkt, liefert aber meines Wissens auch keinen Hamiltonoperator.
Statistisch physikalisch geht es darum, die Dynamik des Bades aus der eines Subsystems abzubilden. Man könnte sich jetzt der Statistik zuwenden. mech. Bücher und schlagen Sie die Formeln für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Badzustands bei gegebenem Systemzustand herunter. Eine weitere Richtung, in die man schauen sollte, ist die Entropieproduktion der Prigogine . Eines fehlt jedoch bei der Formulierung der Frage im OP: Neben der Verfolgung nimmt man normalerweise eine thermodynamische Grenze, um die irreversible Dynamik zu erhalten - sonst stehen wir vor dem Zusammenbruch und dem Wiederbelebungsverhalten .

Urgje · Answer 1

Die Situation, die Sie erwähnen, hat eine lange Geschichte, also fangen Sie damit an

\begin{matrix} ((1)) & \partial_{T} ρ = - ich [H, ρ] = - ich L ρ \Rightarrow ρ (T) = \exp [- ich L T] ρ (0) \end{matrix}

$\begin{equation} \partial _{t}\rho =-i[H,\rho ]=-iL\rho \Rightarrow \rho (t)=\exp [-iLt]\rho (0) \tag{(1)} \end{equation}$ Wo

L

$L$ ist der Liouville-Operator und

ρ

$\rho$ ist ein nicht-negativer Ablaufverfolgungsklassen-Operator, dh ein Element von

B_{1}

$\mathcal{B}_{1}$ , mit Einheitsspurnorm

∥ ρ ∥_{1} = T R ρ = 1

$\begin{equation*} \parallel \rho \parallel _{1}=\mathrm{tr}\rho =1 \end{equation*}$ Die Teilspur, die zu führt

ρ_{S} (t)

$\rho _{S}(t)$ kann als Aktion eines Projektionsoperators formuliert werden

ρ_{S} (T) = P ρ (T)

$\begin{equation*} \rho _{S}(t)=P\rho (t) \end{equation*}$ Dann mit

Q = 1 - P

$Q=1-P$ , wir erhalten

\begin{array}{rcl} \partial_{T} P ρ (T 0 & = & - ich P L P ρ (T) - ich P L Q ρ (T) \\ \partial_{T} Q ρ (T 0 & = & - ich Q L Q ρ (T) - ich Q L P ρ (T) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \partial _{t}P\rho (t0 &=&-iPLP\rho (t)-iPLQ\rho (t) \\ \partial _{t}Q\rho (t0 &=&-iQLQ\rho (t)-iQLP\rho (t) \end{eqnarray*}$ aus denen

Q ρ (T) = \exp [- ich Q L Q T] Q ρ (0) - ich \int_{0}^{T} D S \exp [- ich Q L Q (T - S] Q L P ρ (S)

$\begin{equation*} Q\rho (t)=\exp [-iQLQt]Q\rho (0)-i\int_{0}^{t}ds\exp [-iQLQ(t-s]QLP\rho (s) \end{equation*}$ Einsetzen in die erste ergibt eine geschlossene Gleichung für

P ρ (t)

$P\rho (t)$

\partial_{T} P ρ (T) = - ich P L P ρ (T) - ich P L Q \exp [- ich Q L Q T] Q ρ (0) - \int_{0}^{T} D S P L Q \exp [- ich Q L Q (T - S] Q L P ρ (S)

$\begin{equation*} \partial _{t}P\rho (t)=-iPLP\rho (t)-iPLQ\exp [-iQLQt]Q\rho (0)-\int_{0}^{t}dsPLQ\exp [-iQLQ(t-s]QLP\rho (s) \end{equation*}$ Das ist alles ziemlich Standard-Zeug. Die resultierende Gleichung für

P ρ (t)

$P\rho (t)$ ist als verallgemeinerte Hauptgleichung in der statistischen Mechanik bekannt. In diesem Feld der Anfangsbegriff

P L Q \exp [- ich Q L Q T] Q ρ (0)

$\begin{equation*} PLQ\exp [-iQLQt]Q\rho (0) \end{equation*}$ stirbt normalerweise für große aus

t

$t$ im thermodynamischen Limit. In anderen Fällen einfach

Q ρ (0) = 0

$Q\rho (0)=0$ . Konzentrieren wir uns also auf

\begin{matrix} ((2)) & \partial_{T} P ρ (T) = - ich P L P ρ (T) - \int_{0}^{T} D S P L Q \exp [- ich Q L Q (T - S] Q L P ρ (S) \end{matrix}

$\begin{equation} \partial _{t}P\rho (t)=-iPLP\rho (t)-\int_{0}^{t}dsPLQ\exp [-iQLQ(t-s]QLP\rho (s) \tag{(2)} \end{equation}$ Wir sehen, dass ein Zeitfaltungsterm erschienen ist, der ein Überbleibsel des herausprojizierten Teils ist. Beachten Sie, dass (1) immer noch exakt ist. Es ist möglich

(siehe http://www.physicsoverflow.org/17968/how-to-handle-nonmarkovian-dynamics-in-open-quantum-system .) um eine Gleichung ohne Faltungsterm wiederherzustellen, indem Sie beispielsweise eine zusätzliche Variable einführen $\sigma (t)$ . Dann

(\begin{matrix} ρ (T) \\ σ (T) \end{matrix})

$\begin{equation*} \left( \begin{array}{c} \rho (t) \\ \sigma (t) \end{array} \right) \end{equation*}$ gehorcht einer ähnlichen Gleichung wie (1), aber

σ (t)

$\sigma (t)$ ist ungleich zu

Q ρ (t)

$Q\rho (t)$ , wirkt aber in einem Unterraum von

B_{1}

$\mathcal{B}_{1}$ .

Man erhält auf diese Weise also nicht die volle ursprüngliche Bewegung, sondern (2) ist eine exakte Gleichung für $P\rho (t)$ .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich kenne die Quanten-Master-Gleichung für ein offenes Quantensystem, die eine geschlossene Bewegungsgleichung für das Subsystem mit zusätzlichen 'Anfangsdaten' liefert, die durch gegeben sind $Q\rho(0)$ . Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob dies die Frage beantwortet, die ich zu lösen hoffte. Das Ziel ist, sich zu erholen $\rho(t)$ aus $P\rho(t)=\rho_S(t)$ . Dies erfordert insbesondere das 'Erraten', wie der Hilbert-Raum von $\rho_S(t)$ muss erweitert werden, um für $\rho_S(t)$ gleich $P\rho(t)$ für einige $\rho$ das die von-Neumann-Gleichung erfüllt (für eine zeitunabhängige $H$ ).

Verwenden der Dynamik offener Systeme zur Definition eines Quantenzustands

TLDR

Hintergrund

Frage

Fortschritt

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CR Drost

TLDR

Roger Wadim

Antworten (1)

Urgje

TLDR

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