Berechnung der Wahrscheinlichkeit, ein Wasserstoffatom in den gegebenen Zuständen zu messen

Ich bin derzeit in einem Kurs für statistische Mechanik eingeschrieben und stecke ein bisschen fest, wie man die Wahrscheinlichkeiten eines Wasserstoffatoms in einem bestimmten Zustand berechnet. Ich werde die genaue Frage, an der ich arbeite, und meine Arbeit bis zu diesem Punkt posten und genau notieren, wo ich verwirrt bin. Jede Hilfe von dort wäre willkommen.

Betrachten wir eine Dichtematrix für ein Quantensystem, das durch eine Basis mit drei Zuständen gut beschrieben ist. Ein Beispiel ist das Elektron eines Wasserstoffatoms, das mit Spin-up und in einer Linearkombination der drei hergestellt wird 2 P Zustände. Zwei Standardbasen für das Wasserstoffatom sind die kartesischen Zustände, die durch gegeben sind | 2 P X ⟩ , | 2 P j ⟩ , | 2 P z ⟩ , und das Gute L z Drehimpulszustände, | 2 P + 1 ⟩ , | 2 P 0 ⟩ , | 2 P − 1 ⟩ . Sie sind durch eine einheitliche Transformation miteinander verbunden:

| 2 P ± 1 ⟩ = ∓ 1 2 [ | 2 P X ⟩ ± | 2 P j ⟩ ] | 2 P 0 ⟩ = | 2 P z ⟩
Sie können damit mit Wahrscheinlichkeit einen Strahl aus Wasserstoffatomen präparieren 1 / 4 ein Atom wird in der vorbereitet | 2 P X ⟩ Staat, mit Wahrscheinlichkeit 1 / 4 es wird in der vorbereitet | 2 P j ⟩ Staat, mit Wahrscheinlichkeit 1 / 4 es wird in der vorbereitet | 2 P z ⟩ Zustand und mit Wahrscheinlichkeit 1 / 4 es wird in der vorbereitet | 2 P + 1 ⟩ Zustand.

Ich stecke bei Teil (c) fest, der lautet:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, in den folgenden Zuständen ein Wasserstoffatom zu messen. | 2 P X ⟩ , | 2 P j ⟩ , | 2 P z ⟩ , | 2 P + 1 ⟩ , | 2 P 0 ⟩ , | 2 P − 1 ⟩ .

Ich habe gefunden, dass mein Dichteoperator ist:

ρ = 1 4 | 2 P X ⟩ ⟨ 2 P X | + 1 4 | 2 P j ⟩ ⟨ 2 P j | + 1 4 | 2 P z ⟩ ⟨ 2 P z | + 1 4 | 2 P + 1 ⟩ ⟨ 2 P + 1 |

Ich habe gelesen, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem bestimmten Zustand zu messen, gegeben ist durch Tr [ P ρ ] , Wo P ist der Projektionsoperator. Anschließend habe ich versucht, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, das Wasserstoffatom in der zu finden | 2 P X ⟩ Zustand. Von hier an, P bezeichnet die Wahrscheinlichkeit.

P | 2 P X ⟩ = Tr ( | 2 P X ⟩ ⟨ 2 P X | ρ ) = Tr ( | 2 P X ⟩ ⟨ 2 P X | [ 1 4 | 2 P X ⟩ ⟨ 2 P X | + 1 4 | 2 P j ⟩ ⟨ 2 P j | + 1 4 | 2 P z ⟩ ⟨ 2 P z | + 1 4 | 2 P + 1 ⟩ ⟨ 2 P + 1 | ] ) = Tr ( [ 1 4 − 1 4 2 ] | 2 P X ⟩ ⟨ 2 P X | )

Ich weiß nicht, wie ich den Trace von hier aus auswerten soll. Ich verstehe, dass die Spur einfach die Summe der diagonalen Elemente einer Matrix ist, aber ich sehe nicht, wie das hier gilt. Ich möchte sagen, dass die Lösung ist 1 4 − 1 4 2 seit Tr ( | 2 P X ⟩ ⟨ 2 P X | ) = 1 der Vollständigkeit halber, aber ich bin nicht überzeugt von dieser Antwort.

Jede Anleitung wäre willkommen, danke.

Angenommen, alles andere, was Sie getan haben, ist richtig, dann ja, Sie können den konstanten Faktor aus dem Tr ziehen, so dass die Lösung dieser Faktor ist. Siehe die Eigenschaften der Spur, en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)#Properties
@N.Steinle, aber bin ich richtig in der Bewertung Tr ( | 2 P X ⟩ ⟨ 2 P X | ) ?
Die Wahrscheinlichkeit ist < 2 P X | ρ | 2 P X >
@RogerJBarlow Also muss ich die Ablaufverfolgung hier überhaupt nicht verwenden?
Der Trace sollte dasselbe ergeben, aber Sie haben die 3. Zeile von der 2. Zeile falsch berechnet. Mach es richtig.
@CosmasZachos Ich habe bemerkt, dass ich beim Wiederholen der Berechnung vor dem Einreichen meiner Hausaufgaben einfach versäumt habe, sie hier zu ändern. Danke aber, dass du den Fehler bemerkt hast. Ich werde es ändern, wenn ich Zeit habe.

Antworten (2)

Lange Rede kurzer Sinn, die Spur von X ist:

∑ k < P k | X | P k >
Wie Sie sagten, ist die Spur die Summe über das Diagonalelement und das Element einer Matrix in QM A ich J =< P ich | A | P J > .

Ismasous Antwort war ziemlich standardmäßig positiv bewertet, aber um Verwirrung zu vermeiden, können Sie all diese ausgefallenen Notationen fallen lassen und sie einfach in einem einfachen Drehimpulszustand behandeln L = 1 Und l = 1 , 0 , − 1 . Es ist eine allgemein bekannte Matrix und die meiste Zeit wurde sie gelehrt, als Professor das Stern-Gerlach-Experiment vorstellte. ( https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node247.html ) (Technisch gesehen war einer Spin, der andere Orbital, aber sie haben wirklich keinen großen Unterschied in Bezug auf den verallgemeinerten Drehimpuls.) Dann google Spur des Dichteoperators, die Antwort sollte offensichtlich sein.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, ein Wasserstoffatom in den gegebenen Zuständen zu messen
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