Energiedichte eines quantenmechanischen Ensembles

Wie bestimmen wir die Energiedichte eines gegebenen Systems? Ich habe gesehen, dass der Dichteoperator

ρ   =   exp ⁡ ( − β H ^ ) tr ( exp ⁡ ( − β H ^ ) ) .

Was bedeutet das genau und in welcher Beziehung steht es zu den reinen und unpolarisierten Zuständen eines Systems? Beispielsweise ist bei einem System relativistischer Spin-1/2-Teilchen die vollständig unpolarisierte Strahldichte gegeben σ   =   1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | oder

σ   =   ( 1 2 0 0 1 2 )

Sind die diagonalen Elemente die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass innerhalb des Ensembles ein bestimmtes Teilchen in diesem Spinzustand gefunden wird? Wenn ja, wie wirkt sich dies auf die Energiedichte des Systems aus? Ich bin mir nicht ganz sicher, was der Hamiltonian in diesem Fall wäre. Aber ich denke, dass Spin-up und Spin-down Eigenzustände mit Eigenwerten sind λ ± = ± ℏ 2 , also als Vermutung, da wir über Spinprojektionen sprechen, zu denen die Energieeigenwerte proportional sein werden λ ±

ρ   =   1 e − β ℏ 2 + e β ℏ 2 ( e β ℏ 2 0 0 e − β ℏ 2 )

Wo β ist der Kehrwert der Temperatur gegeben durch β = 1 k T , ich bin mir jedoch nicht sicher, wie hoch die Proportionalitätskonstante sein wird, da ich davon ausgehe, dass der Hamilton-Operator proportional zu sein wird σ z und ihm nicht gewachsen.

Wäre es möglich, ein Beispiel zu sehen oder eine Erklärung dafür zu haben, was passiert? Ich beziehe mich auf Sakurais Modern Quantum Mechanics und Quantum Mechanics von Bransden und Joachain.

Antworten (1)

Ja, das Beispiel σ = 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | Sie geben ein völlig unpolarisiertes Ensemble für einzelne Spin- 1 / 2 System und die Koeffizienten 1 / 2 stellen definitiv die Wahrscheinlichkeiten dafür dar, dass sich das Teilchen entweder im Up- oder im Down-Spin-Zustand befindet. Jetzt werde ich die Bedeutung des Dichteoperators erklären ρ = e X P ( − β H ) / Z — ( 1 ) Wo Z ≡ T R ( e X P ( − β H ) ) und seine Anwendung auf den einzelnen Spin- 1 / 2 System einschließlich seiner Verbindungen zu den reinen und unpolarisierten Zuständen.

Allgemein gesagt ist eqn (1) der Dichteoperator für ein Gleichgewichtssystem H , seine physikalische Bedeutung wird klarer, wenn wir es umschreiben als ρ = e X P ( − β E 1 ) Z | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e X P ( − β E 2 ) Z | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . (Sie können diese Formel selbst beweisen), wo | N ⟩ sind normierte Energieeigenzustände von H mit Eigenwerten E N . Hier die Koeffizienten e X P ( − β E N ) Z Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass sich das System im Zustand befindet | N ⟩ .

Betrachten Sie nun zwei Extremfälle, die physikalisch wichtig sind:

(1) Niedrige Temperaturgrenze ( β → ∞ ) , ρ = 1 D | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 D | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . + 1 D | D ⟩ ⟨ D | , Wo | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , . . . , | D ⟩ sind die D entartete Grundzustände von H .

(2) Hochtemperaturgrenze ( β → 0 ) , ρ = 1 D | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 D | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . + 1 D | D ⟩ ⟨ D | , Wo D ist die Dimension des Hilbert-Raums des Systems, | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , . . . , | D ⟩ sind die Energieeigenzustände.

Wenden Sie nun die obigen Formeln auf Ihr Beispiel an H = σ z sei der Hamiltonoperator des einzelnen Spin- 1 / 2 System. Dann sind seine Energieeigenzustände gerade | ↑ ⟩ Und | ↓ ⟩ , sein Grundzustand ist einfach | ↓ ⟩ ( also hier D = 2 , D = 1 ). Also für die niedrige Temperaturgrenze haben wir ρ = | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | ( reiner Zustand, den Sie erwähnt haben ); und für Hochtemperaturgrenze haben wir ρ = 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | ( völlig unpolarisierte Zustände, die Sie erwähnt haben ).

Ich hoffe, meine Antwort ist nützlich für Sie.

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