Explizites Lösen der von-Neumann-Gleichung [geschlossen]

Die von-Neumann-Gleichung lautet:

D ρ D T = − ich ℏ [ H , ρ ]

Die Lösung:

ρ ( T ) = U ρ U †
mit U = e − ich H T ℏ leicht erhalten wird, wenn man von der Schrödinger-Gleichung ausgeht, aber ich möchte das gleiche Ergebnis erhalten, wenn man von der von-Neumann-Gleichung ausgeht.

Mein Ansatz ist es, zunächst beide Seiten zu integrieren:

ρ ( T ) = ρ 0 − ich ℏ ∫ 0 T [ H , ρ ( τ ) ] D τ

Einsetzen der linken Seite in die rechte ergibt:

ρ ( T ) = ρ 0 − ich ℏ ∫ 0 T [ H , ρ 0 − ich ℏ ∫ 0 T [ H , ρ ( τ ' ) ] D τ ' ] D τ

erweitern:

ρ ( T ) = ρ 0 − ich ℏ ∫ 0 T [ H , ρ 0 ] + ich ℏ ∫ 0 T [ H , ich ℏ ∫ 0 T [ H , ρ ( τ ' ) ] D τ ' ] D τ

ρ ( T ) = ρ 0 + ich T ℏ ( ρ H − H ρ ) + ich ℏ ∫ 0 T [ H , ich ℏ ∫ 0 T [ H , ρ ( τ ' ) ] D τ ' ] D τ

Die Terme erster Ordnung sind die gleichen wie beim Expandieren U ρ U † :

ρ ( T ) ≈ ( 1 − ich H T ℏ ) ρ ( 1 + ich H T ℏ ) = ρ 0 + ich T ℏ ( ρ H − H ρ )

Allerdings stoße ich bei der zweiten Bestellung auf Probleme, da ab U ≈ ( 1 − ich H T ℏ + 1 2 ( ich H T ℏ ) 2 ) Ich erwarte, dass sie:

− ich H T ℏ ρ ich H T ℏ + ρ 1 2 ( ich H T ℏ ) 2 + 1 2 ( ich H T ℏ ) 2 ρ

aber im rekursiven Ausdruck habe ich die aufgeschrieben N -ter Ordnungsbegriff wird gerade sein N verschachtelte Kommutatoren mit H , also mein Term 2. Ordnung ( [ H , [ H , ρ ] ] ) Ist:

− 2 ich H T ℏ ρ ich H T ℏ + ρ ( ich H T ℏ ) 2 + ( ich H T ℏ ) 2 ρ

was ein Faktor von zwei falsch ist. Der Term 3. Ordnung hat die Form der 4. Reihe des Pascal-Dreiecks und so weiter und der N -ter Ordnungsbegriff sein N ! zu groß in meinem Ausdruck. Hier stecke ich fest, weil ich keine Möglichkeit sehe, einen Fakultätsterm zu erhalten, aber ich sehe auch nichts offensichtlich Falsches an meinem Ansatz.

Wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Fehler liegt, wäre ich sehr dankbar.

(Gerade bin ich auf folgende Identität gestoßen:

e A ρ e A = ρ + [ A , ρ ] + 1 2 ! [ A , [ A , ρ ] ] + 1 3 ! [ A , [ A , [ A , ρ ] ] ] + . . .

das ist genau das, was ich erwarte, aber ich weiß nicht, wie ich das bekommen soll 1 N ! Faktoren)

Ich sehe, dass jemand das Hausaufgaben-Tag hinzugefügt hat, also möchte ich nur klarstellen, dass dies keine Hausaufgabenfrage ist. Es ist nur etwas, worüber ich im Zusammenhang mit einem anderen Problem nachgedacht habe.
Ihr Fehler ist direkt nach Ihrem "Ersetzen der linken Seite durch die rechten Erträge". Die obere Grenze des inneren Integrals ist τ , nicht t .
So gesehen gebe ich dir recht! Das würde es lösen. Danke.

Antworten (1)

Hinweise:

  1. Notiere dass der N Der Term in der Dyson-Reihe sind verschachtelte Integrale über an N -Simplex- Integrationsbereich, vgl. obiger Kommentar von Cosmas Zachos. Wenn wir zeitlich ordnen und mit a normalisieren 1 / N ! Faktor können wir den Integrationsbereich durch an ersetzen N -Kasten.

  2. Die letzte Gleichung von OP lautet

    (1) e A D A ^ B ^   =   e A ^ B ^ e − A ^ ,
    Wo
    (2) A D A ^   ≡   [ A ^ , ⋅ ] .

    Skizzierter Beweis von Gl. (1):

    • Ersetzen A ^ → T A ^ in Gl. (1), wo T ∈ C ist ein Parameter.

    • Differenzieren bzgl. T .

    • Zeigen Sie, dass die linke und die rechte Seite von Gl. (1) erfüllen die gleiche ODE in T .

    ◻

1. Ich denke, das ist ein etwas anderes Problem, weil ich versucht habe, die Lösung abzuleiten, nicht nur zu verifizieren. 2. Wie auch immer, in Bezug auf diese Antwort: Gilt der Eindeutigkeitssatz für ODEs, wenn wir Funktionen mit Operatorwert haben? Ich würde mich ein bisschen unwohl fühlen, die Gleichheit auf diese Weise zu zeigen.
1. Ich habe die Antwort aktualisiert. 2. Das ist ein berechtigtes mathematisches Anliegen. Erwägen Sie, es in Mathematik zu fragen .
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