Normales Bestellen und Schmieren

Ich habe auf Wikipedia zwei unterschiedliche Beschreibungen der "Husimi-Q-Darstellung" gelesen. Einer ist, dass es sich um die Wigner-Funktion handelt, die mit einer Gauß-Funktion gefaltet ist, was insbesondere zu einer positiv bestimmten Funktion führt. Die andere ist, dass es „im Wesentlichen“ (ihre Worte) die Dichtematrix ist, die in eine normale Ordnung gebracht wird. Ich hatte einige Probleme zu verstehen, warum diese gleich sind.

Wenn wir zum Beispiel lassen H = ω A † A , dann der thermische Zustand bei inverser Temperatur β Ist

ρ = N exp ⁡ ( − β H ) ,
die (wenn ich alles richtig gemacht habe) normal-bestellt werden
: ρ := N exp ⁡ ( − β ' H ) ,
Wo
β ' = − Protokoll ⁡ ( 1 − β ω ) / ω .
Dies erscheint mir ziemlich pathologisch (wenn man das Problem ignoriert, dass diese neue Dichtematrix nicht normalisiert zu sein scheint): Wir haben β ' > β , also hat das System eine kältere Temperatur, also würde ich erwarten, dass die Verteilung im Phasenraum eher "weniger verschwommen" als "verschwommener" ist (was sicherlich klassisch zutrifft) und bei β ω = 1 wir haben ein einzigartiges Verhalten: für jede Temperatur kälter als ω , scheint es, als würde das Objekt, das wir herausholen, bestimmten Zuständen negative Wahrscheinlichkeiten zuweisen.

Habe ich die Berechnung falsch gemacht? Bedeutet normales Bestellen hier etwas anderes als Schieben A ist rechts davon A † 'S? Gibt es andere Kontexte, in denen wir uns normale Ordnung als Verschmieren von Verteilungsfunktionen vorstellen können?

Antworten (1)

Q-Funktion und P-Funktion

Die Husimi-Q-Funktion einer Dichtematrix ρ ist definiert durch

Q ρ ( a ) = 1 π ⟨ a | ρ | a ⟩
Wo
ρ = 1 π ∫ ρ Koh ( a , a ∗ ) | a ⟩ ⟨ a | D a D a ∗
in den kohärenten Zuständen. P ρ ( a , a ∗ ) := 1 π ρ Koh ( a , a ∗ ) ist die Glauber-Sudarshan-P-Funktion . Es folgt mit ⟨ β | a ⟩ = e − β ∗ β / 2 − a ∗ a / 2 + β ∗ a Das
Q ρ ( β ) = ∫ P ρ ( a , a ∗ ) ⟨ β | | a ⟩ ⟨ a | | β ⟩ D a D a ∗ = ∫ P ρ ( a , a ∗ ) e − β ∗ β − a ∗ a + β ∗ a + β a ∗ D a D a ∗ = ∫ P ρ ( a , a ∗ ) e − | β − a | 2 D a D a ∗

Normales Bestellen und Anti-Normales Bestellen

Die Q-Funktion funktioniert natürlich ganz normal ρ . Seit A | a ⟩ = a | a ⟩ , wir haben das F ( A ) | a ⟩ = F ( a ) | a ⟩ Und ⟨ a | F ( A † ) = ⟨ a | a ∗ , also für ein normal geordnetes Symbol F N ( A , A † ) mit allen Vernichtern rechts und allen Schöpfern links haben wir ⟨ a | F N ( A , A † ) | a ⟩ = F N ( a , a † ) , und so

Q ρ ( a ) = 1 π ρ N ( a , a ∗ )

Die P-Funktion ist natürlich gegen normale Ordnungen ρ . Expandieren

ρ A ( A , A † ) = ∑ ich , J ρ ich , J A ich ( A † ) J
und füge die Vollständigkeitsrelation ein 1 = 1 π ∫ | a ⟩ ⟨ a | D a D a ∗ zu bekommen
P ρ ( a , a ∗ ) = 1 π ρ A ( a , a ∗ )

Etwas verwirrend ist, dass diese Ordnungsvorschrift genau das Gegenteil von dem ist, was sie bei Observablen bewirkt. Man stellt fest, dass antinormal geordnete Erwartungswerte mit der Q-Funktion und normal geordnete Erwartungswerte mit der P-Funktion berechnet werden, dh

⟨ Ö A ( A , A † ) ⟩ = ∫ Q ( a , a ∗ ) Ö A ( a , a ∗ ) D a D a ∗ ⟨ Ö N ( A , A † ) ⟩ = ∫ P ( a , a ∗ ) Ö N ( a , a ∗ ) D a D a ∗

Danke! Ich bin immer noch ein wenig verwirrt: Wenn ρ N ist normal bestellt, das sehe ich ⟨ a | ρ N ( A , A † ) | a ⟩ = ρ N ( a , a ∗ ) , und für willkürlich bestellt ρ Wir haben die Definition Q ρ ( a ) = ⟨ a | ρ | a ⟩ , aber ich sehe nicht, wie diese zusammenhängen. Insbesondere, ⟨ a | ρ | a ⟩ wird nicht unbedingt gleich sein ⟨ a | : ρ : | a ⟩ , Rechts? Entschuldigung, wenn ich dicht bin.
@commutatertot: Als Operatoren, ρ ( A , A † ) = ρ N ( A , A † ) . Ich benutze nicht : ρ : , was normal ist, die Operatoren darin zu ordnen und einfach die Terme zu verwerfen, die Sie aus den Kommutierungsbeziehungen entnehmen. Dh : A A † := A † A , Aber ( A A † ) N = A † A + 1 .
Ah ich sehe; In meiner Frage habe ich die normale Reihenfolge "Kommutationsbeziehungen ignorieren" verwendet. Danke schön!
Normales Bestellen und Schmieren
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