Sind kohärente Lichtzustände „klassisch“ oder „Quanten“?

Kohärente Zustände sind Quantenzustände, aber sie haben Eigenschaften, die klassische Zustände in einem präzisierbaren Sinne widerspiegeln.

Betrachten wir konkret kohärente Zustände im Kontext des einfachen harmonischen Quantenoszillators, die genau den Ausdruck haben, den Sie in der Frage geschrieben haben. Man kann die folgenden zwei Tatsachen demonstrieren (wobei ich Sie sehr ermutige, sich selbst zu beweisen);

• Der Erwartungswert des Positionsoperators in einem kohärenten Zustand ist

  $$\begin{align} \langle\alpha|\hat x|\alpha\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\alpha + \alpha^*) \end{align}$$

• Die zeitliche Entwicklung eines kohärenten Zustands wird einfach dadurch erhalten, dass sein Eigenwert um eine Phase zeitlich entwickelt wird;

  $$\begin{align} e^{-it \hat H/\hbar}|\alpha\rangle = |\alpha(t)\rangle, \qquad \alpha(t):=e^{-i\omega t}\alpha. \end{align}$$ Mit anderen Worten, wenn das System in einem kohärenten Zustand ist, dann bleibt es in einem kohärenten Zustand!

Setzt man diese beiden Tatsachen zusammen, so stellt man fest, dass der Erwartungswert des Ortsoperators im kohärenten Zustand folgendes zeitliches Verlaufsverhalten hat:

• Der Erwartungswert der Position des Systems schwingt wie die Position eines klassischen einfachen harmonischen Oszillators.

Dies ist ein Sinn, in dem der kohärente Zustand klassisch ist. Eine andere Tatsache ist die

• Kohärente Zustände minimieren die Quantenunsicherheit in dem Sinne, dass sie die Heisenberg-Unschärfegrenze sättigen; $$\begin{align} \sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2} \end{align}$$ Soweit Unsicherheit ein reiner Quanteneffekt ist, kann die Minimierung dieses Effekts als Maximierung der „Klassizität“ interpretiert werden.

Kohärente Zustände sind, obwohl streng quantenmechanisch, "isomorph" zu klassischen Zuständen. Sie sind auch in gleicher Weise isomorph zu Ein-Photonen-Zuständen.

Es gibt bijektive Abbildungen zwischen jedem Paar der folgenden drei Mengen: (i) der Menge aller quantenkohärenten Zustände, (ii) der Menge aller Ein-Photonen-Zustände und (iii) und der Menge aller Lösungen der Maxwell-Gleichungen. Ich spreche mehr über diese Aussage in meiner Antwort hier und auch dieser hier . Sie können sich also vorstellen, dass jede Lösung der Maxwell-Gleichungen entweder einen klassischen Zustand oder einen quantenkohärenten Zustand definiert. Wenn wir letzteres tun, nutzen wir die besondere Eigenschaft des kohärenten Zustands aus: Er ist eindeutig und vollständig durch die definiert$\vec{E}$und$\vec{H}$Observable als Funktionen von Raum und Zeit. Obwohl diese Mittelwerte oberflächlich betrachtet nicht dasselbe sind wie der Quantenzustand, so wie viele klassische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, z . B. Gauß, durch mehr Parameter als nur ihre Mittelwerte definiert sind, können sie für den Spezialfall kohärenter Zustände interpretiert werden als solche (so wie die klassischen Exponential- und Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilungen eindeutig durch ihre Mittel definiert sind).

Also, wenn Sie so wollen, die kohärenten Zustände sind so, wie wir die klassischen Zustände konsequent in die viel größere Quantentheorie der Lichtfelder einbetten . Dies ist das "Fenster" von der klassischen zur Quantenwelt. Dieser Standpunkt liegt auch dem radikalen Unterschied zwischen der Komplexität klassischer und Quantenzustände zugrunde: Für ein Quantisierungsvolumen gibt es abzählbar unendliche$\aleph_0$elektromagnetische Moden$\left\{(\vec{E}_j,\,\vec{H}_j)\right\}_{j=0}^\infty$.$\aleph_0$then ist ein Maß für die "Komplexität" dieser Basis, die sowohl die Basis von Ein-Photonen-Zuständen als auch die Basis für eine klassische Superposition von Moden ist, die die Maxwell-Gleichungen lösen. Andererseits sind Glieder der Basis für alle Fock-Zustände abzählbar unendliche Folgen natürlicher Zahlen wie$\left.\left|n_1, n_2, n_3,\cdots\right.\right>$also hat die Basis selbst die gleiche Kardinalität$\aleph_1$als Kontinuum. Der klassische Zustandsraum ist die direkte Summe der Ein-Photonen-Unterräume, der allgemeine Quanten-Zustandsraum das Tensorprodukt ein abzählbares Produkt abzählbar unendlicher Unterräume.

Eine letzte kohärente Zustandseigenschaft, über die in den anderen Antworten nicht gesprochen wurde, ist, dass sie als Eigenvektor des Vernichtungsoperators definiert werden kann$a = \sqrt{2}^{-1}\left(\sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\hat{x}+i\,\sqrt{\frac{\hbar}{m\,\omega}}\,\hat{p}\right)$und als solche sättigen beide (i) die Heisenberg-Ungleichung ( dh $\Delta x\,\Delta p = \hbar$) und (ii) verteilt die Unsicherheit gleichmäßig auf die beiden dimensionslosen Orts- und Impulsobservablen$\sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\hat{x}$und$\sqrt{\frac{\hbar}{m\,\omega}}\,\hat{p}$: So erreicht es ein minimales Unsicherheitsprodukt und hat keine Präferenz dafür, wo der Messfehler auftritt. In normalisiert$x,\,p$Quantenphasenraum ( Wigner-Verteilungsraum ), seine Unsicherheitsbereiche sind somit Scheiben minimaler Fläche, weshalb er oft als der „klassischste Zustand“ bezeichnet wird.

Es kann als Abbild des Quantengrundzustands des harmonischen Oszillators dargestellt werden$\left.\left|0\right.\right>$unter der Wirkung des Verschiebungsoperators $D(\alpha) = \exp\left(\alpha\, a + \alpha^*\,a^\dagger\right)$. Dieser Operator „verschiebt“ den Grundzustand im Wigner-Phasenraum entlang des Vektors$({\rm Re}(\alpha),\,{\rm Im}(\alpha))$lässt es aber ansonsten unverändert. Man kann den kohärenten Zustand mit der folgenden Eigenschaft auf die größere Menge gequetschter Zustände verallgemeinern. Eine weitere Operation durch den Squeeze-Operator $S(\beta) = \exp\left(\beta\, a - \beta^*\,a^\dagger\right)$belässt die Verteilung zentriert am selben Punkt und erreicht immer noch das minimale Unsicherheitsprodukt ( dh die Heisenberg-Ungleichung wird zu einer Gleichheit gesättigt), verleiht aber der Genauigkeit von Messungen von einer der Observablen eine "Präferenz".$\hat{x},\,\hat{p}$auf Kosten der Genauigkeit in einem sogenannten gequetschten Zustand . Zustände des Formulars$S(\beta)\, D(\alpha)\,\left.\left|0\right.\right>$sind die Gesamtheit der quantenharmonischen Oszillatorzustände, die eine Sättigung der Heisenberg-Ungleichung erreichen.

Wenn kohärenter Zustand tatsächlich die klassischsten Zustände sind (was bedeutet, dass der Mittelwert der EM-Felder den klassischen Maxwell-Gleichungen gehorcht), sind die in dem von Ihnen erwähnten Papier verwendeten Zustände nicht kohärenter Zustand (zumindest in dem arXiv-Papier), sondern Kat Zustände !

Der Staat$|\alpha\rangle+|-\alpha\rangle$ist kein kohärenter Zustand ! Es ist die Überlagerung zweier klassischer Zustände, was wir wirklich mit Quantenhaftigkeit meinen.

Anders gesagt, kohärente Zustände bilden eine Basis, mit der man jeden Quantenzustand schreiben kann, aber das bedeutet nicht, dass alle diese Zustände so klassisch sind wie ein kohärenter Zustand.

Es geht darum, welche Bedeutung Sie den Wörtern „Quantum“ und „Klassik“ beimessen. Fock-Raum und Elemente dieses Raums sind Begriffe, die zur Quantentheorie der Strahlung gehören und keine direkte Beziehung zu Strahlungszuständen in der klassischen elektromagnetischen Theorie haben, daher kann der kohärente Zustand mit gutem Grund "Quantum" genannt werden.

Kohärente Zustände haben jedoch Eigenschaften, die denen von harmonisch oszillierenden stehenden Wellen eines elektromagnetischen Felds sehr ähnlich sind, wie sie in der klassischen Theorie von Mikrowellenhohlräumen verwendet werden, weshalb sie oft als "klassische" Quantenzustände bezeichnet werden.

Kohärente Zustände sind auf eine präzise Art und Weise klassisch, die noch nicht explizit gesagt wurde, obwohl Rod darauf hindeutet.

Angenommen, Sie möchten die Wechselwirkung zwischen einem kohärenten EM-Zustand und Materie zeitlich entwickeln. Dies läuft auf die Lösung der Schrödinger-Gleichung hinaus für:

Wenn all dies wahr ist, gibt es ein Ergebnis von Mollow (1) , das besagt, dass es eine kanonische Transformation zu diesem System gibt, die es auf das System abbildet:

Mit anderen Worten, der Hamilton-Operator hat jetzt ein zusätzliches zeitabhängiges externes Potential – beachten Sie, dass auf dem kein Hut ist$\vec{E_{k,\alpha}}$weil es kein Feldoperator ist! Dieses Potential hat die gleiche Amplitude und Frequenz wie der anfängliche kohärente Zustand. Das quantisierte Feld ist immer noch vorhanden, beginnt aber im Vakuumzustand. Das bedeutet, dass sich das System genauso entwickelt wie ein Atom im entsprechenden externen Potential, außer auch mit der Möglichkeit, von Photonen beeinflusst zu werden, die es selbst emittiert (was im Vergleich zu einem großen externen Feld oft vernachlässigbar sein wird).

Die Schlussfolgerung ist, dass kohärente Zustände in dem Sinne „klassisch“ sind, dass sie durch ein externes Potential ersetzt werden können. Dies rechtfertigt unter anderem das in der Atomphysik und der Physik der kondensierten Materie allgegenwärtige semiklassische Modell der Wechselwirkung von Licht mit Materie.

Von den vielen quantenmechanisch möglichen Zuständen eines Oszillators (seien es mechanische oder Lichtwellen) beobachten wir fast ausschließlich die kohärenten Zustände. In gewisser Weise sind sie die Zustände, in denen die Ungewissheit gleichmäßig verteilt ist, sodass jede ungewisse Größe wie folgt skaliert$\sqrt{N}$zum$N$Quanten (zB Photonen oder Energiequanten in einem Oszillator). Alles andere ist tendenziell etwas schwierig experimentell zu erzeugen, da man Zustände auf nicht triviale Weise koppeln muss, was für die typischerweise nicht wechselwirkenden Bosonen, die diese Quanten sind, etwas ungewöhnlich ist. Wo es uns gelingt, Zustände zu konstruieren, die sich signifikant von kohärenten Zuständen unterscheiden, betonen wir diese Tatsache oft, indem wir sie als gequetscht bezeichnen (wobei einige Unsicherheiten schneller und andere langsamer wachsen als$\sqrt{N}$und daher wie ein Kreis aussehen, der zusammengeplottet in eine Ellipse gequetscht wird) oder nichtklassische Zustände.

Es ist wahrscheinlich, dass die Quanten-(Optik-)Protokolle, die Sie gefunden haben, eher absichtlich auf kohärenten Zuständen basierten, einfach weil Laser (die kohärente Zustände emittieren) vergleichsweise leicht zu bekommen und einfach zu bedienen sind, verglichen mit gequetschten Lichtquellen. Die frühesten und einfachsten Protokolle für die Quantenkryptographie gehen jedoch von Einzelphotonenquellen aus (höchst unklassisch und unpraktisch schwer zu bauen), da ihre Sicherheit gegenüber einem Lauscher, der möglicherweise mit unbekannten Mitteln zum Abziehen doppelter Photonen ausgestattet ist, leichter nachzuweisen ist und ihr Durchsatz höher ist, wenn eine muss darauf keine Rücksicht nehmen.

Wenn die mittlere Anzahl von Photonen riesig ist, wird die Heisenberg-Unschärfe vernachlässigbar und "verschwindet" (formal sieht es so aus$\hbar\to 0$). So wird ein solcher kohärenter Zustand zu einem ganz klassischen.