Von-Neumann-Entropie von Mischungen kohärenter Zustände

Ich versuche, die Von-Neumann-Entropie statistischer Mischungen kohärenter Zustände zu berechnen. Das Problem ist, dass solche Zustände im Allgemeinen nicht gaußförmig sind, sodass man dem hier entwickelten Formalismus nicht folgen kann: Phys. Rev. A 59, 1820 (1999) . Hat jemand einen Tipp zur Berechnung der

T R [ ρ Protokoll ⁡ [ ρ ] ] ,
für
ρ = ∑ ich P ich | a ich ⟩ ⟨ a ich |   ?

Können Sie mehr über die sagen P ich ? Der Fall zweier Guassier kann natürlich hinsichtlich der Überlappung genau berechnet werden ⟨ a 1 | a 2 ⟩ ; Bewegen Sie sich einfach in den 2-dim-Unterraum, der von den Vektoren aufgespannt wird. Ebenso kann die Antwort für eine endliche Anzahl von Gauß-Funktionen mit der Gram-Matrix berechnet werden . (Da die paarweisen inneren Produkte durch die Gaußsche Bedingung nicht sehr eingeschränkt sind, bezweifle ich, dass sich die Antwort gegenüber dem nicht-Gaußschen Fall stark vereinfacht.) Für eine kontinuierliche Verteilung P ( a ) , könnten die Dinge nicht beliebig kompliziert sein?
Ich habe darüber nachgedacht P ich nur klassische Wahrscheinlichkeiten sind. Sie sind reelle Zahlen und ihre Quadrate summieren sich zu Eins. Ja im Dauerfall solange P ( a ) führt nicht zum Gaußschen Zustand, ich bezweifle, dass es etwas Allgemeines gibt. Aber könnten Sie mehr Details zu nur zwei Begriffen in der Summe erklären? Ich versuche den Logarithmus nach der Formel zu berechnen Protokoll ⁡ [ ρ ] = ∑ N ρ N / N ! und die Dinge werden ziemlich schnell chaotisch.
Konstruieren Sie eine 2-dim-orthonormale Basis | + ⟩ , | − ⟩ das den gleichen Unterraum wie überspannt | a 1 ⟩ , | a 2 ⟩ . Umschreiben ρ auf dieser Basis als 2x2-Matrix, die diagonalisiert werden kann und das Spektrum von ergibt ρ . Die Entropie ist eine Funktion des Spektrums.
Da liegt wohl ein Missverständnis vor. Von | a ⟩ Ich meine einen kohärenten Zustand eines harmonischen Quantenoszillators ( en.wikipedia.org/wiki/Coherent_states ), der auf der Fock-Basis liegt | a ⟩ = A ∑ N ( a N / N ! ) | N ⟩ (a-Normierungskonstante) und sein Hilbert-Raum ist daher unendlichdimensional.
Ja, ich weiß. Der vollständige Hilbert-Raum ist unendlich dimensional, aber wenn Sie nur zwei Vektoren aus einem solchen Hilbert-Raum erhalten, überspannen sie nur einen einzigen zweidimensionalen Unterraum. Die Dichtematrix wirkt, wenn sie als Operator betrachtet wird, nicht trivialerweise nur auf diesen Unterraum. (Er ist Null im orthogonalen Unterraum). Frag deinen Berater :)
Vielleicht kannst du ein konkretes Beispiel nennen? Das würde wahrscheinlich die Erklärung erleichtern. (Idealerweise nur mit zwei Nicht-Null P ich ;-) Übrigens, eine etwas verwandte Diskussion (das Komprimieren von kohärenten Zuständen in einen endlichdimensionalen Raum ist in physical.stackexchange.com/a/208576/4888 .
"Von Neumann" sollte "von Neumann" sein

Antworten (1)

Es scheint, ich habe eine Antwort für 2 Begriffe im Originalzustand herausgefunden. Angenommen, der Staat ist

ρ = A | a ⟩ ⟨ a | + ( 1 − A ) | β ⟩ ⟨ β |

Wir müssen eine orthonormale Basis zu konstruieren, in der dieses System als 2-Niveau-System fungiert. Eine der Varianten ist

| + ⟩ = | a ⟩ ; | − ⟩ = | β ⟩ − k | a ⟩ 1 − k 2 ,
Wo k = ⟨ a | β ⟩ . Die Elemente der neuen Dichtematrix ρ ± Sind
ρ 11 = ⟨ + | ρ | + ⟩ ; ρ 12 = ⟨ + | ρ | − ⟩ ; ρ 21 = ⟨ − | ρ | + ⟩ ; ρ 22 = ⟨ − | ρ | − ⟩ ;
Und so ist es:
ρ ± = ( A + ( 1 − A ) | k | 2 k ( 1 − A ) ( 1 − | k | 2 ) 1 − k 2 k ∗ ( 1 − A ) ( 1 − | k | 2 ) 1 − k ∗ 2 ( 1 − A ) ( 1 − | k | 2 ) ) .

Es ist jetzt möglich, die Entropie zu berechnen. Wenn | a ⟩ Und | β ⟩ die gleiche Phase haben, die Abhängigkeit der Entropie vom Parameter A und Trennung zwischen den Staaten D , ⟨ a | β ⟩ = exp ⁡ ( − D 2 ) sieht aus wie das:

Entropie

Es erscheint vernünftig, da es bei Nulltrennung Null ist, da der Zustand rein ist und auch zu geht 0 Wenn A = 1 oder 0 .

Edit: Danke an Jess Riedel für die Anleitung.

Ihre Basiszustände sind nicht richtig normalisiert, daher ist das Ergebnis wahrscheinlich falsch. (In der Tat, abhängig von der Phasenwahl von | a ⟩ Und | β ⟩ , sie sind nicht einmal orthogonal.)
Vielen Dank für den Hinweis auf den Fehler. Habe das korrigiert und den Beitrag editiert.
Netter Post. Die Lektion hier ist also im Grunde, dass, obwohl die vollständige Basis kohärenter Zustände übervollständig ist, man für eine gegebene Menge eine orthonormale Basis durch das übliche Gram-Schmidt-Verfahren konstruieren und dann die Dinge normal berechnen kann. Ist das korrekt?
@Rococo: In der Tat können Sie für ein diskretes Set immer die üblichen Gram-Schmidt-Verfahren verwenden. Aber wenn das Problem schön symmetrisch ist, gibt es andere Basen, die die Lösung einfacher machen. Hier würde ich zum Beispiel die Basis aus den (normalisierten) Zuständen verwenden | a ⟩ ± | β ⟩
Von-Neumann-Entropie von Mischungen kohärenter Zustände
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