Was sind die Anwendungen der Wehrl-Entropie in der Quanteninformation? [geschlossen]

Wie ich bereits sagte, kenne ich die Anwendungen dieser Entropie nicht, da ich sie nicht mag, daher sollte einigen Benutzern eine faire Chance gegeben werden, Ihre Frage zu beantworten. Wehrls RevModPhys-Artikel von 1978 ist ziemlich gut geschrieben, aber er geht nicht auf Anwendungen ein. Ich gehe davon aus, dass Schüler der klassischen Grenze über kohärente Zustände sie häufig verwenden.

Es ist eine unkontrollierte halbklassische Annäherung an die "korrekte", vollständig quantenmechanische, gut verstandene von Neumann-Entropie. Zu allen gibt es gute Wikipedia-Artikel. Mein Vortrag hier und der darin skizzierte Hauptartikel könnten von Nutzen sein, da er einfache Beispiele behandelt.

Die Sprache, die it und Wehrl für die Quantenmechanik verwenden, ist die Phasenraumformulierung der QM , basierend auf der Wigner-Funktion .$W(x,p)$, die Darstellung des von Neumann-Operators$\hat \rho$im Phasenraum multipliziert mit dem verräterischen Sternprodukt . Somit werden Operatorspuren auf Phasenraumintegrale abgebildet und Operatormultiplikationen auf *-Multiplikationen abgebildet, z$\hat \rho ^2 \mapsto W\star W$, usw...

Eine Zusammenfassung dieser Formulierung finden Sie hier . Diese Sprach-/Darstellungsänderung ist umkehrbar, sodass die von Neumann-Entropie, positiv semidefinit, mit ihrem Logarithmus von Operatoren auf einen chaotischen Ausdruck mit *-Funktionen abgebildet wird, der als geeignete Taylor-Mercator-Erweiterung von *-Potenzen wie oben definiert ist. Richtig chaotisch...

Nun kann W in kleinen Phasenraumregionen negative Werte annehmen (mit Fläche kleiner als ℏ, also sehr „Quanten“; keine Sorge: die Unschärferelation verbirgt dies), und wenn man nicht sehr aufpasst, trifft man auf Logarithmen negativer Zahlen, die niemand einem Menschen wünscht.

Es gibt eine "Lösung", nämlich die Verwendung der äquivalenten Husimi-Q-Funktion , die positiv semidefinit ist ; aber mit großer Verwechslungsgefahr. Der Punkt ist sein geeignetes *-Produkt, Ω, das hier nicht explizit geschrieben wird, ist ein alptraumhaftes Durcheinander und hat deutlich schlechtere Eigenschaften als das von W ; es hängt auch von ℏ ab.

In Bezug auf diese ist die von Neumann-Entropie bis auf Normalisierungen und Verschiebungen so etwas wie

An dieser Stelle schlägt Wehrl vor (effektiv: nie in solchen Worten!), dass er die Ωs aus dem obigen Ausdruck weglässt, um eine klassische Differentialentropie mit zwei Variablen zu erhalten

Q hängt von ℏ ab, kann aber jetzt als echte klassische Verteilungswahrscheinlichkeit angesehen werden, halbpositiv definit und für verschwindendes ℏ wohldefiniert; es kennt jetzt die Unschärferelation nicht, im Gegensatz zu W . Von diesem Punkt an kann Wehrl dieses S mit klassischen Entropien vergleichen und sein Verhalten sowohl bezüglich vN als auch klassischer Liouville-Funktionen, seiner unteren Grenze von 1 usw. untersuchen.

Aber Sie haben gesehen, wie einige ℏ s geopfert wurden, um zu diesem Ausdruck zu gelangen, und andere nicht! In der verschwindenden ℏ klassischen Grenze ist alles in Ordnung, und ich glaube, bis auf geeignete Verschiebungen findet er, dass dieser Ausdruck oben die vN-Entropie von oben begrenzt, dh weniger informativ ist als vN, mit all diesem Verlust an Quanteninformation.

Es ist einfach zu studieren, und so hat eine ganze Generation hervorragender mathematischer Physiker seine netten Eigenschaften untersucht, auf die im WP-Artikel Bezug genommen wird, und auf Prototypen für kohärenten Zustand und Bloch-Sphären-Einstellungen angewendet. Aber Sie sind sich der oben genannten Erbsünde bewusst. In meinem Vortrag und meiner Arbeit achte ich darauf, stattdessen W und (fast) sein überlegenes Produkt zu verwenden.

Vielleicht irre ich mich, aber ich glaube, dass all diese "geboren" wurden, um die wahre vN-Entropie von oben zu begrenzen: die Grenze unserer Unkenntnis über gemischte Zustände. (Für reine Zustände verschwindet die vN-Entropie und es ist uns egal.)