Wie schreibe ich den Ausgangszustand eines Strahlteilers?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Als Referenz wird dieser Ansatz als zweite Quantisierung bezeichnet.

Im Grunde kommt Ihre Verwirrung von einer Verwechslung zwischen dem Schrödinger-Bild – wo sich der Staat entwickelt,$\ket{Ψ_{\text{out}}}≠\ket{Ψ_{\text{in}}}$) und die Operatoren konstant sind – und das Heisenberg-Bild – wo der Zustand konstant ist$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}$) und die Operatoren entwickeln sich weiter. In der Praxis wechselt man oft von einem Bild zum anderen (und manchmal auch in Zwischenbilder), je nachdem was praktischer ist.

Der zweite Quantisierungsansatz ist im Heisenberg-Bild, wo formal$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}$, aber die Observablen entwickeln sich. Die Eingabeoperatoren, geschrieben als Produkte von$a_x^\dagger$Und$a_x$, werden zu Ausgabeoperatoren, die als Produkte von geschrieben werden$b_x^\dagger$Und$b_x$, wobei die Transformation durch die unitäre Matrix gegeben ist$U_{T^*}^{-1}$.

Genauer,$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}=a_1^\dagger a_2^\dagger\ket{0}=\ket{1,1}_{\text{in}}$, Aber$b_1^\dagger b_2^\dagger\ket{0}=\ket{1,1}_{\text{out}}≠\ket{1,1}_{\text{in}}$: Ein Photon in jedem der Eingangsmodi hat nicht den gleichen Zustand wie ein Photon in jedem der Ausgangsmodi. Die Matrix$U_{T^*}$gibt Ihnen eine Beziehung zwischen den Eingabeoperatoren und den Ausgabeoperatoren:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix} &= U_{T^*} \begin{bmatrix} a_1^\dagger\\a_2^\dagger \end{bmatrix}; & \text{therefore }\begin{bmatrix} a_1^\dagger\\a_2^\dagger \end{bmatrix} &= U_{T^*}^{-1} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix} = U_{T^*}^{\dagger} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix}, \end{align}$$ und Sie können umschreiben $a_1^\dagger a_2^\dagger$als $(T b_1^\dagger-R^*b_2^\dagger)(R b_1^\dagger+T^*b_2^\dagger)$im Ausdruck von $\ket{Ψ_{\text{out}}}$um den Ausdruck des Zustands in der „Ausgangsbasis“ zu erhalten.