Finden des Spektrums eines Polynoms der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Gibt es einen allgemeinen Algorithmus, um das Spektrum von zu finden? S S † , wo S ist ein homogenes Polynom (vom Grad n ) der Vernichtungsoperatoren (von d Variablen)?

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Die Unterräume v n = S p a n { ( a 1 † ) n 1 , . . . ( a d † ) n d | 0 > } , n ich ≥ 0 , n 1 + . . . n d = n , bestehen aus invarianten Unterräumen des Operators S S † Aktion. Die Dimension von v n ist ( d + n − 1 ) ! ( d − 1 ) ! n ! . Somit kann der Operator auf jedem dieser Unterräume als quadratische Matrix der Größe dargestellt werden ( d + n − 1 ) ! ( d − 1 ) ! n ! für die das Spektrum durch elementare lineare Algebra gefunden werden kann. Das Spektrum auf dem gesamten Fock-Raum ist die Vereinigung der Spektren über v n , n = 0 , 1 , . . .

@Moshe, hast du dein altes Konto verloren?
@Moshe, vielen Dank. Weiter vordringen - für ein Gradpolynom k reicht es aus, die Eigenwerte im ersten zu kennen? ich Unterräume (bzw v 0 , … , v ich ) um alle anderen vorherzusagen? Wie für n = 1 es genügt, den Eigenwert für zu kennen ich = 1 (alle anderen sind ihre Multipiliziten).
@David Bar Moshe: Die Formel (v1) für schwach ⁡ v n muss einen Fehler/Tippfehler(?) enthalten, was zB durch Putten zu erkennen ist d = 1 .
@Piotr - Entschuldigung für den Fehler, natürlich ist die Dimension gleich der Anzahl der bestellten Partitionen von n hinein höchstens d Stücke, oder äquivalent die Dimension der vollsymmetrischen n -tensorielle Darstellung von S U ( d ) , die z. B. mit der Hakenlängenformel berechnet werden kann. Übrigens versuche ich gelegentlich über Ihren interessanten Vorschlag in Ihrem letzten Kommentar nachzudenken, aber ich bin noch nicht zu einer Antwort gekommen.

Man kann die Operatoren in Ihrem Polynom immer neu anordnen, um es zu einem Polynom aus einzelnen Teilchenzahloperatoren zu machen. Z.B a k + a k + a k a k = ± n k 2 + n k (Das Vorzeichen hängt von der Statistik Ihrer Partikel ab). Da die Teilchenzahloperatoren für verschiedene Moden kommutieren, ist die Berechnung des Spektrums einfach.

Ich fürchte, es ist nicht so einfach. Selbst für den einfachsten nicht-trivialen Fall S = a 2 a 1 2 + β a 1 a 2 + γ 2 a 2 2 Sie bekommen Kreuzbegriffe hinein S S † , z.B a β ∗ 2 a 1 2 a 1 † a 2 † . Kennen Sie einen allgemeinen Algorithmus, um es zu „diagonalisieren“, damit es keine Kreuzbegriffe gibt?
Finden des Spektrums eines Polynoms der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
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