Zweite Quantisierung und Hamiltonsche Diagonalisierung

Question

Zweite Quantisierung und Hamiltonsche Diagonalisierung

Caims

Also möchte ich meinen Hamiltonian (es ist ein bosonischer Hamiltonian) diagonalisieren, der lautet:

$H=(E+\Delta)a^{\dagger}a + 1/2\Delta(a^{\dagger}a^{\dagger} + aa)$

Meine Klasse hat dieses Material nicht behandelt, daher weiß ich nicht wirklich, wie ich vorgehen soll. Ich wäre dankbar für Literatur, die diese Themen behandelt, und ein Problembuch mit Lösungen wäre auch großartig.

Was ich versuchte, war, meinen Hamiltonian in Matrixform zu schreiben, was wäre: $\begin{pmatrix} 1/2 \Delta & 1/2(E+\Delta) \\ 1/2(E+\Delta) & 1/2 \Delta \\ \end{pmatrix}$

Und dann diagonalisieren, Eigenzustände finden usw. Ist das der richtige Weg?

Caims

Sie sind natürlich Vernichtungs- und Schöpfungsoperatoren (sie sind bosonisch - das habe ich vergessen zu erwähnen). Ich kenne die Dimension nicht, aber Hamiltonian wirkt auf jeden Zustand

| ϕ >

$|\phi>$ .

Meng Cheng

Sie wollen einen neuen Vernichtungsoperator finden

b

$b$ , was eine Linearkombination von ist

a

$a$ Und

a^{†}

$a^\dagger$ , so dass

[b, H] = E b

$[b, H]=E b$ Wo

E

$E$ wird die Eigenenergie sein.

Caims

Aber warum? Können Sie mir eine Quelle/ein Buch nennen?

geniert

@MengCheng Das ist eine sehr unnatürliche Art, die Eigestates eines Operators zu definieren, findest du nicht?

Meng Cheng

@GennaroTedesco Ich finde es überhaupt nicht ungewöhnlich.

Sebastian Riese

@GennaroTedesco Dies wird als Bogoliubov-Transformation bezeichnet und ist für Hamiltonianer, die Begriffe enthalten, recht häufig und notwendig

a a

$aa$ Und

a^{†} a^{†}

$a^\dagger a^\dagger$ (typischerweise Mittelfeld-Hamiltonoperatoren) wie der BCS-Hamiltonoperator oder Hamiltonoperatoren für Exzitationen eines Bose-Einstein-Kondensats.

geniert

Die Bogoliubov-Transformation muss korrekt definiert werden, indem sie mit der entsprechenden Identität gespannt wird, daher ist ihre vollständige Formulierung etwas komplizierter als das, was gezeigt wurde. Außerdem habe ich Einwände gegen den von Meng gegebenen Ausdruck erhoben, da dieser die Eigenzustände nicht wirklich findet, sondern nur den Hamilton-Operator auf eine geeignetere Weise umschreibt.

Sebastian Riese

@GennaroTedesco Ich stimme zu, dass der Kommentar nicht wirklich hilft, die Lösung zu finden (und unvollständig ist). Trotzdem ist der Weg zur Lösung dieser Aufgabe offensichtlich die Bogoliubov-Transformation. Aber

[b, H] = E b

$[b, H] = Eb$ ist nur eine Folge von

H = E b^{†} b = E n

$H = E b^\dagger b = En$ .

geniert

Auch hier bezog sich mein einziger Einwand auf das formelle Schreiben der Bogoliubov-Transformation, die auf gemeinsamen Domänen usw. korrekt definiert werden sollte. Schreiben

a + a^{†}

$a+a^{\dagger}$ ohne andere Vorschrift ist falsch (da die beiden Betreiber unterschiedliche Domänen und unterschiedliche Co-Domänen haben, frage ich mich, wie Sie die Ergebnisse dann zusammenfassen).

Meng Cheng

Ich verstehe die Einwände nicht. Natürlich

[b, H] = E b

$[b,H]=Eb$ ist eine Folge von

H = E b^{†} b

$H=Eb^\dagger b$ , das ist genau das, was Sie finden müssen

b

$b$ Und

E

$E$ seit wir wissen

b

$b$ muss eine Linearkombination von sein

a

$a$ Und

a^{†}

$a^\dagger$ Wenn Sie es nicht glauben, verwenden Sie einfach diese Beziehung und arbeiten Sie die resultierenden Gleichungen aus.

Sebastian Riese

@GennaroTedesco Vielleicht bin ich zu müde, aber ich sehe das Problem nicht. Warum haben sie unterschiedliche Domains?

a | 0 ⟩ = 0

$a\left| 0 \right> = 0$ . Genauer gesagt für den harmonischen Oszillator

x \propto a + a^{†}

$x \propto a + a^\dagger$ . (Und ein harmonischer Oszillator ist nichts anderes als ein 0d, freies bosonisches Feld). (Sie haben tatsächlich unterschiedliche Co-Domains, aber das haben sie auch

0

$0$ Und

1

$1$ ). Aber die Ergebnisse stammen aus einem linearen Raum, sodass Sie sie immer summieren können (sei es Fock-Raum oder was auch immer).

geniert

Siehe noch einmal meine Kommentare über und unter den anderen Antworten. Ich lehne die Ergebnisse nicht ab, ich lehne die Definitionen von ab

a + a^{†}

$a+a^{\dagger}$ auf dem Fockspace (bitte mit Domains, Actions und Co-Domains versehen). Außerdem ist die zweite Quantisierung des Fock-Raums nicht äquivalent zum harmonischen Oszillator, genau wegen des Problems mit direkten Summen von Hilbert-Räumen (das in letzterem nicht vorkommt).

Sebastian Riese

Es mag einige Feinheiten geben, die ich ignoriere, aber ich verstehe nicht, was sie sind.

a

$a$ Und

a^{†}

$a^\dagger$ sind lineare Operatoren auf dem linearen Fockraum. Daher kann ich sie hinzufügen.

geniert

Der Fock-Raum ist nicht nur ein Hilbert-Raum; es ist die unendliche direkte Summe verschiedener Hilbert-Räume (siehe alle meine Kommentare und meine Antwort). Die Aktion der

a, a^{†}

$a, a^{\dagger}$ ist nur auf diesen Hilbert-Räumen singulär definiert und muss auf geeignete Weise geklebt werden, um auf die gesamte unendliche direkte Summe (dh den Fock-Raum) angewendet zu werden.

Antworten (3)

Zweite Quantisierung und Hamiltonsche Diagonalisierung

Sie sind natürlich Vernichtungs- und Schöpfungsoperatoren (sie sind bosonisch - das habe ich vergessen zu erwähnen). Ich kenne die Dimension nicht, aber Hamiltonian wirkt auf jeden Zustand $|\phi>$ .
Sie wollen einen neuen Vernichtungsoperator finden $b$ , was eine Linearkombination von ist $a$ Und $a^\dagger$ , so dass $[b, H]=E b$ Wo $E$ wird die Eigenenergie sein.
@MengCheng Das ist eine sehr unnatürliche Art, die Eigestates eines Operators zu definieren, findest du nicht?
@GennaroTedesco Ich finde es überhaupt nicht ungewöhnlich.
@GennaroTedesco Dies wird als Bogoliubov-Transformation bezeichnet und ist für Hamiltonianer, die Begriffe enthalten, recht häufig und notwendig $aa$ Und $a^\dagger a^\dagger$ (typischerweise Mittelfeld-Hamiltonoperatoren) wie der BCS-Hamiltonoperator oder Hamiltonoperatoren für Exzitationen eines Bose-Einstein-Kondensats.
Die Bogoliubov-Transformation muss korrekt definiert werden, indem sie mit der entsprechenden Identität gespannt wird, daher ist ihre vollständige Formulierung etwas komplizierter als das, was gezeigt wurde. Außerdem habe ich Einwände gegen den von Meng gegebenen Ausdruck erhoben, da dieser die Eigenzustände nicht wirklich findet, sondern nur den Hamilton-Operator auf eine geeignetere Weise umschreibt.
@GennaroTedesco Ich stimme zu, dass der Kommentar nicht wirklich hilft, die Lösung zu finden (und unvollständig ist). Trotzdem ist der Weg zur Lösung dieser Aufgabe offensichtlich die Bogoliubov-Transformation. Aber $[b, H] = Eb$ ist nur eine Folge von $H = E b^\dagger b = En$ .
Auch hier bezog sich mein einziger Einwand auf das formelle Schreiben der Bogoliubov-Transformation, die auf gemeinsamen Domänen usw. korrekt definiert werden sollte. Schreiben $a+a^{\dagger}$ ohne andere Vorschrift ist falsch (da die beiden Betreiber unterschiedliche Domänen und unterschiedliche Co-Domänen haben, frage ich mich, wie Sie die Ergebnisse dann zusammenfassen).
Ich verstehe die Einwände nicht. Natürlich $[b,H]=Eb$ ist eine Folge von $H=Eb^\dagger b$ , das ist genau das, was Sie finden müssen $b$ Und $E$ seit wir wissen $b$ muss eine Linearkombination von sein $a$ Und $a^\dagger$ Wenn Sie es nicht glauben, verwenden Sie einfach diese Beziehung und arbeiten Sie die resultierenden Gleichungen aus.
@GennaroTedesco Vielleicht bin ich zu müde, aber ich sehe das Problem nicht. Warum haben sie unterschiedliche Domains? $a\left| 0 \right> = 0$ . Genauer gesagt für den harmonischen Oszillator $x \propto a + a^\dagger$ . (Und ein harmonischer Oszillator ist nichts anderes als ein 0d, freies bosonisches Feld). (Sie haben tatsächlich unterschiedliche Co-Domains, aber das haben sie auch $0$ Und $1$ ). Aber die Ergebnisse stammen aus einem linearen Raum, sodass Sie sie immer summieren können (sei es Fock-Raum oder was auch immer).
Siehe noch einmal meine Kommentare über und unter den anderen Antworten. Ich lehne die Ergebnisse nicht ab, ich lehne die Definitionen von ab $a+a^{\dagger}$ auf dem Fockspace (bitte mit Domains, Actions und Co-Domains versehen). Außerdem ist die zweite Quantisierung des Fock-Raums nicht äquivalent zum harmonischen Oszillator, genau wegen des Problems mit direkten Summen von Hilbert-Räumen (das in letzterem nicht vorkommt).
Es mag einige Feinheiten geben, die ich ignoriere, aber ich verstehe nicht, was sie sind. $a$ Und $a^\dagger$ sind lineare Operatoren auf dem linearen Fockraum. Daher kann ich sie hinzufügen.
Der Fock-Raum ist nicht nur ein Hilbert-Raum; es ist die unendliche direkte Summe verschiedener Hilbert-Räume (siehe alle meine Kommentare und meine Antwort). Die Aktion der $a, a^{\dagger}$ ist nur auf diesen Hilbert-Räumen singulär definiert und muss auf geeignete Weise geklebt werden, um auf die gesamte unendliche direkte Summe (dh den Fock-Raum) angewendet zu werden.

Meng Cheng · Answer 1

Das Diagonalisieren des Hamilton-Operators bedeutet, dass Sie ihn in die Form bringen möchten $H=\omega b^\dagger b$ , und das ist ziemlich offensichtlich $b$ sollte eine lineare Kombination von sein $a$ Und $a^\dagger$ , Und $b$ sollte die kanonische Kommutierung von Vernichtungsoperatoren erfüllen, nämlich $[b,b^\dagger]=1, [b,b]=0$ .

Jetzt schreiben wir $b=ua+va^\dagger$ (dies wird übrigens die Bogoliubov-Transformation genannt). Die Bedingung $[b,b^\dagger]=1$ führt zu $|u|^2-|v|^2=1$ . Lassen Sie uns expandieren $b^\dagger b$ :

B^{†} B = | u |^{2} A^{†} A + | v |^{2} A A^{†} + u^{*} v A^{†} A^{†} + u v^{*} A A .

$b^\dagger b= |u|^2 a^\dagger a+ |v|^2 a a^\dagger + u^*v a^\dagger a^\dagger + uv^* aa.$

Deshalb

ω (| u |^{2} + | v |^{2}) = E + Δ, ω u^{*} v = \frac{1}{2} Δ .

$\omega(|u|^2+|v|^2)=E+\Delta, \omega u^*v = \frac{1}{2}\Delta.$

Zusammen mit $|u|^2-|v|^2=1$ , haben wir drei Gleichungen für drei Variablen ( $u, v, \omega$ ). Tatsächlich kann man in diesem Fall davon ausgehen $u$ Und $v$ sind beide echt. Der Rest ist nur Algebra.

Darum habe ich gebeten. Der Weg, es zu berechnen. Danke schön.

geniert · Answer 2

Das Diagonalisieren eines Operators bedeutet, seine Eigenzustände zu finden.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann Ihr Hamiltonian geschrieben werden als

H = C_{1} A^{†} A + C_{2} A^{†} A^{†} + C_{3} A A

$H = c_1 a^{\dagger}a + c_2 a^{\dagger}a^{\dagger} + c_3 a a$ mit

a^{†}, a

$a^{\dagger},a$ Operatoren des Typs sind

a^{†} : H_{n} \mapsto H_{n + 1}

$a^{\dagger}\colon \mathcal{H}_n\mapsto \mathcal{H}_{n+1}$ (und umgekehrt für

a

$a$ ), Wo

H_{n}

$\mathcal{H}_n$ ist der

n

$n$ -Teilchen-Hilbert-Raum, der zum Fock-Raum beiträgt

F = \oplus_{n}^{\infty} H_{n}

$\mathcal{F}= \oplus^{\infty}_n\mathcal{H}_n$ .

Es müssen ein paar Fehler in Ihrer Gleichung sein, wenn Sie das in einem zweiten Quantisierungsvorgang wirklich meinen. Erstens gibt es keinen General $a^{\dagger},a$ Operator, sondern Sie haben einen für jeden Impuls $k$ , das ist $a^{\dagger}_k,a_k$ Erzeuge und zerstöre (in Anführungszeichen) Teilchen mit Impuls $k$ ; es gibt kein $k$ in Ihrem anfänglichen Hamilton-Operator, während die allgemeine Form sein muss $\sum_k c_k\,a^{\dagger}_ka_k$ .

Zweitens: Je nachdem, ob Ihre Teilchen Fermionen oder Bosonen sind, verhalten sich die entsprechenden Operatoren unterschiedlich: zum Beispiel $a^{\dagger}_ka^{\dagger}_k=0$ für Fermionen.

Wenn der Hamilton-Operator auf einen Unterraum des Fock-Raums mit einer bestimmten Anzahl von Teilchen wirkt $\mathcal{H}_n$ , dann würden die letzten beiden Terme in Ihrer Gleichung die Aktion auf bringen $\mathcal{H}_{n\pm2}$ , daher wird die rechte Seite darin leben $\mathcal{H}_n +\mathcal{H}_{n+2} +\mathcal{H}_{n-2}$ , was nicht wirklich Sinn macht, da keine Vorschrift gegeben wird, wie Elemente in verschiedenen Hilbert-Räumen zu summieren sind (die letzten beiden Stücke).

Entweder geben Sie ein genaues Rezept an, um das oben Genannte zu erreichen, oder es müssen Fehler an anderer Stelle in der Formel sein, wie darauf hingewiesen wurde; versuchen Sie, mehr Kontext zu geben, damit man verstehen kann, was Sie meinen. Vorgeschlagene Literatur zum Schreiben eines beliebigen Hamilton-Operators in der zweiten Quantisierung und zum Finden der entsprechenden Lösungen ist beispielsweise:

Vielen Dank. Es ist jetzt viel klarer. Aber es gibt keinen Fehler in meinem Hamiltonian (außer dass die Matrix, die ich geschrieben habe, keinen Sinn ergibt). Es gibt keine Summierung, es ist direkt aus meiner Hausaufgabe übernommen.
Also im Grunde muss mein Hamiltonian mich im selben Fockraum halten und weitermachen $H_n \rightarrow H_n$ . Das bedeutet, dass mein Hamiltonian in jedem Koeffizienten die gleiche Anzahl von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren haben muss, um zu handeln $H_n$ Zu $H_n$ ?
Ja genau. Außerdem gibt es (ich bin mir nicht ganz sicher), soweit ich mich erinnere, ein allgemeines Argument (siehe Schwabl), das zeigt, dass der allgemeinste Hamilton-Operator nur Produkte von einem und zwei Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren enthält.
In einem anderen Problem, das wir in naher Zukunft im Unterricht lösen werden, habe ich so etwas: i.imgur.com/U0EAgfO.png . Ist es legitim? Ist das mit unserer Definition ok? Der Hinweis ist, es mit der Bogolyubov-Transformation zu lösen. Es ist jedoch eine unendliche Summe, also weiß ich es nicht. Die einzigen Hamiltonianer, die ich gefunden habe, die auf verschiedenen Fock-Räumen wirken, sind die, die ich in meinem ersten Beitrag gepostet habe, und die auf dem Bild.
Es macht für mich nicht viel Sinn, da man ehrlich gesagt Vektoren in verschiedenen Hilbert-Räumen summieren müsste, es sei denn , es werden bestimmte Vorschriften gegeben.
Es gibt keine Rezepte. Es gibt nur diesen Hinweis und das Ziel ist es, Eigenzustände zu finden. Naja, dann frage ich meinen Lehrer. Vielen Dank für Ihre Zeit, Ihr Beitrag hat mir wirklich geholfen, dies besser zu verstehen.
@GennaroTedesco Sind Sie jemals auf die BCS-Theorie oder die Bogoliubov-Theorie der Anregungen von Bose-Einstein-Kondensaten gestoßen? Es gibt genau solche Begriffe $aa$ Und $a^\dagger a^\dagger$ geschehen! Das bedeutet nur, dass die Energieeigenzustände keine bestimmten Teilchenzahlen haben. Das Summieren von Vektoren mit unterschiedlichen Teilchenzahlen ist im Fock-Raum (der ein linearer Raum ist ) überhaupt kein Problem.
Siehe meine Kommentare oben. Die Bogoliubov-Transformation erfordert eine korrekte Definition der Tensorierung mit den entsprechenden Identitätsoperatoren, die im obigen Ausdruck nicht vorkommen. Nur dann kann man Summen zwischen Elementen in verschiedenen Unterräumen des Fock-Raums definieren.
Was ist so schwierig an diesem Hamiltonian? Überlegen Sie einfach $a, a^\dagger$ die Leiteroperatoren der harmonischen 1D-Oszillatoren sein. Es ist auf dem gesamten Fock-Raum definiert, und das ist völlig in Ordnung.
Können Sie bitte die formale Definition des Operators schreiben $a+a^{\dagger}$ (Domänen, Co-Domänen und Aktionen)?
$(a + a^\dagger)\left|n\right> = a\left|n\right> + a^\dagger\left|n\right>$ . Domain $H$ , codomain einige Unterraum von $H$ . $a\left|0\right> = 0$ . Ich sehe kein Problem. ( $H = \text{lin} \{ \left|0\right>, \left|1\right>, \ldots \}$ ). $a\left|n\right> = \left|n - 1 \right>$ für $n > 0$ , $a^\dagger\left|n \right> = \left|n + 1 \right>$ .
Operatoren werden auf dem Hilbert-Raum definiert. Es gibt einen wohldefinierten Fock-Raum, der von überspannt wird $|n\rangle, n=0,1,\dots$ . $a$ Und $a^\dagger$ sind beide lineare Operatoren auf diesem Hilbert-Raum (also bilden sie einen Zustand in diesem Raum auf einen anderen Zustand ab). Was sind ihre Aktionen? Sie sollten wissen, ob Sie einen Quantenmechanikkurs belegt haben.
Wie rechnet man $a|n\rangle + a^{\dagger}|n\rangle$ , da ersterer in wohnt $\mathcal{H}_{n-1}$ und letzteres drin $\mathcal{H}_{n+1}$ ? Sie sollten die Inkonsistenz in der Notation sehen, wenn Sie einen Mathematikkurs belegt haben.
Der Hilbertraum wird von unendlich vielen Zuständen aufgespannt $|n\rangle$ . Sie befinden sich alle im selben Hilbert-Raum. Was hindert Sie daran, zwei Zustände im selben Hilbert-Raum zu summieren? Es scheint, als hätten Sie noch nie einen Hilbert-Raum gesehen, dessen Dimension größer ist als $1$ , und Zustände werden durch einige Quantenzahlen gekennzeichnet, die durch Anwendung linearer Operatoren geändert werden können?
Nur um Ihnen einige grundlegende Definitionen zu geben, die Sie zu übersehen scheinen: $a\colon\mathcal{H}_n\mapsto\mathcal{H}_{n-1}$ , wohingegen $a^{\dagger}\colon\mathcal{H}\mapsto\mathcal{H}_{n+1}$ , und der Fock-Raum ist die unendliche direkte Summe all dieser verschiedenen Hilbert-Räume. Wie Sie sehen, befinden sie sich nicht im selben Hilbert-Raum. Der Fockraum ist nicht die lineare Spanne dieser, sondern die Tensorproduktspanne, das war mein Einwand. Wenn Sie einen solchen Unterschied nicht sehen, frage ich mich, wie Sie überhaupt mit Quantenfeldtheorien umgehen.
Wenn Sie das Vorgehen richtig begründen (und das war meine Ausgangsfrage), dann stimme ich dem (übrigens natürlich korrekten) Endergebnis voll und ganz zu; aber wenn Sie die Dinge zusammenfassen, ohne überhaupt zu sehen, wo die Fehler liegen könnten, nun, das zeigt ein sehr seltsames und mangelndes Verständnis der Theorie der Operatoren.
Sie fragen mich, wie ich überhaupt mit Quantenfeldtheorien umgehe? So geht's: Quantenfeldtheorien beschäftigen sich mit Vielteilchensystemen, und Teilchen dürfen erzeugt und vernichtet werden. Der eigentliche Hilbert-Raum wird also von der Besetzungszahlbasis aufgespannt, die die Besetzungszahl in einigen Einzelteilchenzuständen angibt. Sie können diesen unendlich dimensionalen Hilbert-Raum in Unterräume mit unterschiedlicher Gesamtzahl an Besetzungen aufteilen, das ist Ihr eigener $\mathcal{H}_n$ . So $a$ führt Sie zwischen diesen Unterräumen, was ein linearer Operator im tatsächlichen unendlichdimensionalen Hilbert-Raum ist.
Anscheinend hast du meine Kommentare überhaupt nicht gelesen.
Ich fürchte, nicht mir fehlt das volle Verständnis der Theorie der Operatoren.
Ich glaube nicht, dass es Sinn macht, diese Diskussion fortzusetzen. Die Antwort ist da, das OP scheint kein Verständnisproblem zu haben $a$ Und $a^\dagger$ (Außerdem wurde das Problem wahrscheinlich im Zusammenhang mit Ladder-Operatoren für harmonische Oszillatoren zugeordnet). Wir denken beide, dass wir die Kommentare nicht lesen und über grundlegende Dinge verwirrt sind, das ist völlig in Ordnung. Ich werde aufhören.

Michael Kuisma · Answer 3

Wie wäre es, wenn Sie nur die Matrixdarstellung verwenden.

https://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators#Matrix_representation

Sie können eine beliebige Anzahl von Bosonen von 0 bis unendlich haben. Das wird Ihre Basis sein, und Ihre Wellenfunktion wird als Vektor dargestellt, in dem Element 0 die Wahrscheinlichkeitsamplitude für 0 Quanten angibt, Element 1 die Amplitude für 1 Quant, 2 für 2 Quanten usw. im System angibt.

Rechnen mit Matrizen ist einfach:

N = 1000;
a = zeros(N);
for i=1:N-1
a(i,i+1) = sqrt(i);
end
H = 10*a*a' + 5 / 2 * (a*a+a'*a');
eig(N)

Haftungsausschluss: Ich habe fast immer mit Fermionen gearbeitet, mit Ausnahme einiger Quantenkurse vor 8 Jahren.

Zweite Quantisierung und Hamiltonsche Diagonalisierung

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