Skalarprodukt kohärenter Zustände

Question

Skalarprodukt kohärenter Zustände

Physik
Quantenoptik
kohärente Zustände
Quantenmechanik
zweite Quantisierung

Jungen

Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass wir einen 1D-Oszillator haben, aber dies ist eine Frage nach dem allgemeinen CCR in Oszillatoren, der zweiten Quantisierung, der Quantenfeldtheorie usw.

Wir wissen, dass kohärente Zustände eine nicht-orthonormale übervollständige Basis bilden. Wir wissen, dass sie zufrieden stellen $A |\alpha>=\alpha |\alpha>$ , Wo $|\alpha>=e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}} e^{\alpha A^+} \Psi_0$

Wie können wir ein generisches Skalarprodukt zwischen zwei verschiedenen kohärenten Zuständen mit Eigenwerten berechnen? $\alpha$ Und $\beta$ ?

e^{- \frac{| a |^{2} + | β |^{2}}{2}} Ψ_{0} e^{β A} e^{a A^{+}} Ψ_{0}

$e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}\Psi_0 e^{\beta A} e^{\alpha A^+} \Psi_0$

wsc

Beginnen Sie mit einer Taylor-Entwicklung, dh

exp (α a^{†}) | 0 ⟩ = \sum_{n} \frac{α^{n}}{n!} (a^{†})^{n} | 0 ⟩

$\mbox{exp}(\alpha a^{\dagger})|0\rangle = \sum_n \frac{\alpha^n}{n!}(a^{\dagger})^n|0\rangle$ (und denken Sie daran, dass Zahlenzustände orthogonal sind !)

Jungen

@wsc Also werde ich erhalten

e^{- \frac{| α |^{2} + | β |^{2}}{2}} e^{\hat{β} α}

$e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}e^{\hat\beta\alpha}$ ?

wsc

wenn du mit diesem Hut das Konjugat von meinst

β

$\beta$ , ja... Kannst du dir eine anregendere Schreibweise vorstellen?

wsc

eigentlich war das ziemlich vage, und es ist schwierig, es sei denn, Sie wissen, wonach ich suche. Der Punkt ist, dass Sie es auch als schreiben können

exp (- | α - β |^{2})

$\mbox{exp}(-|\alpha-\beta|^2)$ , mit dem Sie den Raum kohärenter Zustände etwas grafischer interpretieren können, IMO.

Lubos Motl

Liebe wsc, das stimmt nicht

- (| a |^{2} + | b |^{2}) / 2 + b^{*} a = - | a - b |^{2}

$-(|a|^2+|b|^2)/2 +b^* a = -|a-b|^2$ . Zunächst einmal fehlt der Faktor zwei. Zweitens hat die linke Seite

b^{*} a

$b^* a$ statt seines Realteils,

(b^{*} a + a^{*} b) / 2

$(b^* a + a^* b)/2$ , das auf der rechten Seite erscheint. Da diese quadratischen Ausdrücke im Exponenten erscheinen, ändert ihre Differenz – die eine rein imaginäre Zahl ist – nur die Phase des Ergebnisses. Ihr letztes geometrisches Ergebnis ist also bis auf eine falsche Phase des Innenprodukts in Ordnung. Nur um sicherzugehen, ist Boy's Antwort 3 Kommentare höher genau richtig.

wsc

Oh! Hoppla! Danke, @Lubos, ich dachte an das Ergebnis

| ⟨ β | α ⟩ |^{2}

$|\langle \beta | \alpha \rangle |^2$

Antworten (2)

Skalarprodukt kohärenter Zustände

Beginnen Sie mit einer Taylor-Entwicklung, dh $\mbox{exp}(\alpha a^{\dagger})|0\rangle = \sum_n \frac{\alpha^n}{n!}(a^{\dagger})^n|0\rangle$ (und denken Sie daran, dass Zahlenzustände orthogonal sind !)
@wsc Also werde ich erhalten $e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}e^{\hat\beta\alpha}$ ?
wenn du mit diesem Hut das Konjugat von meinst $\beta$ , ja... Kannst du dir eine anregendere Schreibweise vorstellen?
eigentlich war das ziemlich vage, und es ist schwierig, es sei denn, Sie wissen, wonach ich suche. Der Punkt ist, dass Sie es auch als schreiben können $\mbox{exp}(-|\alpha-\beta|^2)$ , mit dem Sie den Raum kohärenter Zustände etwas grafischer interpretieren können, IMO.
Liebe wsc, das stimmt nicht $-(|a|^2+|b|^2)/2 +b^* a = -|a-b|^2$ . Zunächst einmal fehlt der Faktor zwei. Zweitens hat die linke Seite $b^* a$ statt seines Realteils, $(b^* a + a^* b)/2$ , das auf der rechten Seite erscheint. Da diese quadratischen Ausdrücke im Exponenten erscheinen, ändert ihre Differenz – die eine rein imaginäre Zahl ist – nur die Phase des Ergebnisses. Ihr letztes geometrisches Ergebnis ist also bis auf eine falsche Phase des Innenprodukts in Ordnung. Nur um sicherzugehen, ist Boy's Antwort 3 Kommentare höher genau richtig.
Oh! Hoppla! Danke, @Lubos, ich dachte an das Ergebnis $|\langle \beta | \alpha \rangle |^2$

David Bar Mosche · Answer 1

Die Berechnung kann alternativ auch in der Bargmann-Darstellung des harmonischen Oszillators erfolgen. In dieser Darstellung wird im Folgenden die erforderliche Innenproduktbewertung beschrieben. Meiner Meinung nach ist diese Methode rechnerisch überlegen sowie viele weitere Vorteile. Dieses Verfahren basiert auf der Isomorphie zwischen den Hilbert-Räumen $L^2(\mathbb{R})$ und den Bargmann-Raum analytischer Funktionen auf $\mathbb{C}$ bezogen auf das innere Produkt

(F, G) = \frac{1}{2 π} \int_{C} F (z) \bar{G (z)} \exp (- z \bar{z}) D z D \bar{z}

$(f,g) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{C}} f(z) \overline{g(z)} \exp(-z\bar{z})dz d\bar{z}$

(Die Isomorphie ist explizit durch die Bargmann-Transformation gegeben)

In der Bargmann-Darstellung wird der Erstellungsoperator durch die Multiplikation mit dargestellt $z$ und die Ableitung des Vernichtungsoperators nach z und dem Vakuumzustand durch die konstante Einheitsfunktion (und übrigens die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators durch die Monome $z^n$ - bis auf eine Normalisierung). Und so kam es dass der $\alpha$ Der kohärente Zustand wird dargestellt durch:

ψ_{a} (z) = \exp (- \frac{| a |^{2}}{2}) \exp (\bar{a} z)

$\psi_{\alpha}(z) = \exp\left(-\frac{|\alpha|^2}{2}\right) \exp(\bar{\alpha}z)$

und das Skalarprodukt ist daher gegeben durch:

(ψ_{β}, ψ_{a}) = \frac{\exp (- \frac{(| a |^{2} + | β |^{2})}{2})}{2 π} \int_{C} \exp (\bar{β} z) \exp (a \bar{z}) \exp (- z \bar{z}) D z D \bar{z} = \exp (- \frac{(| a |^{2} + | β |^{2})}{2}) \exp (\bar{β} a)

$(\psi_{\beta},\psi_{\alpha}) = \frac{\exp\left(-\frac{\left(|\alpha|^2+|\beta|^2\right)}{2}\right)}{2\pi}\int_{\mathbb{C}} \exp(\bar{\beta}z) \exp(\alpha\bar{z}) \exp(-z\bar{z}) dz d\bar{z} = \exp\left(-\frac{\left(|\alpha|^2+|\beta|^2\right)}{2}\right) \exp(\bar{\beta} \alpha)$

Das Integral lässt sich leicht durch Koordinatentranslation und Quadratvervollständigung auswerten.

Dieses Beispiel ist ein Prototyp der Quantisierung in der Kahler-Polarisation.

Peter Morgan · Answer 2

Verwenden Sie die Baker-Campbell-Hausdorff-Identitäten. Dafür sind sie deine besten Freunde. Zwei Links, zum Beispiel:

Wikipedia hat eine Seite mit einem Beispiel unter der Überschrift "Anwendung in der Quantenmechanik", das so ziemlich das ist, was Sie brauchen.

Skalarprodukt kohärenter Zustände

Jungen

wsc

Jungen

wsc

wsc

Lubos Motl

wsc

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David Bar Mosche

Peter Morgan

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