Eigenzustände des Erzeugungsoperators

Nun, hier ist eine förmliche "Lerche"-Antwort, die zu "manipulierten" Fock-Räumen und Orten geht, an denen Sie (oder sonst jemand) nicht wirklich sein sollten; außer Sie waren vielleicht schon dort , als Sie etwas über BHs und Kets gelernt haben, wenn Sie in Diracs QM-Buch nachgesehen haben – mysteriöserweise überspringen den Abschnitt praktisch alle modernen Texte!

Ich werde Ihre Fock-Space-Frage behandeln, aber hauptsächlich als Einführung, um zu Diracs erhabenem Bild überzugehen , das es verdient, gezeigt zu werden. In diesem Sinne ist diese informelle formelle Antwort außerordentlich nachsichtig.

In der Tat gilt für kohärente Zustände

$$|\alpha\rangle= e^{-|\alpha|^2/2 } e^{\alpha a^\dagger}|0\rangle ,$$ Wo$a|0\rangle =0$Und$[a,a^\dagger]=1$, das findest du$a|\alpha\rangle=\alpha | \alpha\rangle$. Die adjungierte / duale Beziehung in Ihrem (1) ist nichts anderes als diese, also sagen sie Ihnen wirklich nichts Neues , und sie sind nicht die "linken" Eigenzustände von$a^\dagger$in jedem sinnvollen Sinne, außer dem trivialen. Ihr betrachtet genau die gleichen Zustände im dualen Raum.

Die strengen Beweise verknüpfter Fragen ohne Eigenzustände von$a^\dagger$haben jedoch eine flockige formale Lücke. Der Freak (nicht normalisierbarer) Zustand

$$|\psi\rangle=\delta(a^\dagger - \beta ~ \mathbb{I}) |0\rangle =\frac{1}{2\pi} \int \!\! dk ~e^{ik(a^\dagger -\beta)} |0\rangle \\ =\frac{1}{2\pi}\int\!\! dk~\exp(-ik\beta) \left (|0\rangle+ ik |1\rangle + ... +(ik)^n/\sqrt{n!}|n\rangle +...\right ) \\ = \delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \delta(\beta)\over \sqrt{n!}}|n\rangle+...$$ formal erfüllt $$a^\dagger | \psi\rangle=\beta| \psi\rangle,$$ und ist der gesuchte Rechts-Eigenzustand von$a^\dagger$Wenn Sie also eine Erregung erstellen / hinzufügen, ändert sich diese gemäß Ihrer (2) tatsächlich nicht.

Es ist im Wesentlichen eine formale kontinuierliche Überlagerung einer Unendlichkeit von geneigten kohärenten Zuständen, analog zu Diracs$|x\rangle$, woher es natürlich kam; siehe unten.

Ich weiß nicht, ob diese Zustände tatsächlich auf eine verdrehte technische Art und Weise in die Quantenoptik als Werkzeug eingedrungen sind, aber ehrlich gesagt beende ich diesen Teil der Diskussion und betrachte ihn als Aufwärmgriff für die schöne Theorie von Diracs Kets, die er führt Details in seinem klassischen QM-Buch (4. Aufl.), Kap. III §20 & Kap. IV §22, §23 aus.

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Die meisten formalen Manöver, die wir bisher gesehen haben, bilden algebraisch in einer populären losen Analogie die standardmäßigen Dirac-Braket-Entitäten und -Operatoren ab,

$$a^\dagger \rightsquigarrow \hat x , \qquad a \rightsquigarrow \hat p , \qquad [a^\dagger,a]=1 \rightsquigarrow [\hat x , \hat p]= i\hbar.$$

Vergessen wir Schöpfer und Vernichter, falls sie Sie verwirren, und beginnen Sie mit Diracs Standard-Ket .

$$\rangle\equiv \sqrt{2\pi\hbar } |\varpi\rangle.$$ Ich führe meine eigene Notation auf der rechten Seite ein, um den Kulturschock zu mildern, der Generationen entfremdet hat: Was ich damit meine, ist das standardmäßige translationsinvariante Vakuum, ein unendlicher x-Vektor mit der gleichen konstanten Komponente in jedem Eintrag, so dass eine Übersetzung es verlässt unveränderlich. (Da Sie das Ende dieser Notation bereits kennen, wird es sich herausstellen$\lim_{p\to 0} |p\rangle\equiv |\varpi\rangle$. Ich werde nicht 0 anstelle von verwenden$\varpi$, ich möchte Sie daran erinnern, dass es sich um einen p-Eigenzustand und nicht um einen x-Eigenzustand handelt. Also auf diesem Bild$\hat p$s sind Vernichter und$\hat x$s Schöpfer.)

Es ist somit das Analogon des kohärenten Vakuumzustands, des Nullzustands von$\hat p$,

$$\bbox[yellow,5px]{ \hat p |\varpi\rangle = 0}.$$

Dirac definiert dann

$$\bbox[yellow,5px]{ |x\rangle = \delta(\hat x -x)|\varpi \rangle \sqrt{2\pi \hbar}},$$ Und $$\bbox[yellow,5px]{ |p\rangle = e^{ip\hat x /\hbar} | \varpi \rangle},$$ ein impulsübersetzter Null-Impuls-Zustand,$e^{p \partial_{\varpi}} | \varpi \rangle$, das Analogon des kohärenten Zustands!

Prüfen Sie daher,

$$\langle x | p\rangle = \sqrt{2\pi \hbar} \langle \varpi | \delta (\hat x - x ) e^{ip\hat x /\hbar} |\varpi\rangle =e^{ip x /\hbar} \langle x |\varpi\rangle = e^{ip x /\hbar} /\sqrt{2\pi \hbar},$$ da die Projektion aller x-Eigenzustände auf das Standard-Ket gleich ist, und $$\hat p |p\rangle = \hat p e^{ip\hat x /\hbar}|\varpi\rangle = p|p\rangle , \qquad \hat x |x\rangle = \hat x \delta(\hat x -x)|\varpi \rangle \sqrt{2\pi \hbar}=x |x\rangle,$$ die Eigenschaften, mit denen die meisten QM-Lehrbücher beginnen.

(Aber zu meiner Überraschung, als ich das zum ersten Mal erfuhr, verstand Dirac offensichtlich die Struktur kohärenter Staaten lange vor ihrer offiziellen Gründung ...)

Wenn Sie ein geistiges Bild dieser unendlichdimensionalen Vektoren in der x -Basis haben müssen , die$|x\rangle$Vektor hat nur einen Nicht-Null-Eintrag im x=n- ten Schlitz, ist also endgültig scharf; aber die$|\varpi \rangle$Vektor ist unendlich breit und hat, sagen wir, 1 in jedem einzelnen Eintrag, geeignet normalisiert durch die Kontinuumsnormalisierung dieser Monster; und das$|p\rangle$Der Vektor ist so breit und hat Einträge um den 0-ten Slot herum, die wie gehen$...,e^{-2ip}, e^{-ip}, 1,e^{ip},e^{2ip},e^{3ip},...$. Liebhaber der endlichen Fourier-Transformation werden diese als mit geliebten Vektoren verwandt erkennen.

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NB Add-on, das den No-Go-Proof adressiert

Durch die Orgie der beteiligten Distributionen kann man die streng formale Lücke des No-Go-Beweises sehen,

$$a^\dagger \left (\delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \over \sqrt{n!}}\delta(\beta)|n\rangle+... \right ) \\ = \beta \left ( \delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \over \sqrt{n!}}\delta(\beta)|n\rangle+...\right ).$$ Beachten Sie den "Haken"$|0\rangle$Begriff auf der rechten Seite verschwindet aufgrund von$\beta \delta(\beta)=0$, der zweite Begriff$-\beta \partial_\beta \delta(\beta) = \delta (\beta)$usw. Hyperformal, um sicher zu sein, aber von Operatoren bewertete Verteilungen sind das Lebenselixier von QFT, und die Aufgabe, die von axiomatischer QFT übernommene Landschaft "aufzuräumen", ist immer noch nicht vollständig ... In QM erwarten die Leute einige Rigging-Stunts wird alles regeln, aber ich bin nicht so gut darin.

Wäre es richtig, das zu sagen$\langle\alpha\vert$ist (links) Eigenvektor von$\hat{a}^\dagger$? Können wir diesen Formalismus verwenden und hat er eine (physikalische) Bedeutung?

Hmmm ... Ich bin nicht mit einer bestimmten physikalischen Interpretation davon vertraut. Beachten Sie jedoch, dass wenn$u$ein linker Eigenvektor von ist$A$, dh $uA=\alpha u$, dann ergibt die Transponierung + Hermitian Conjugate

$$A^\dagger u^\dagger=\left(uA\right)^\dagger=\left(\alpha u\right)^\dagger=\alpha^\ast u^\dagger$$

Nun bezeichne$B\equiv A^\dagger$,$v\equiv u^\dagger$Und$\lambda=\alpha^\ast$So

$$Bv=\lambda v$$

Dies bedeutet, dass das Studium der linken Eigenvektoren dem Studium der rechten Eigenvektoren entspricht. Bei der Seitenwahl gibt es nichts Besonderes.

In Anbetracht dessen würde ich sagen, dass das oft anzutreffende naive Argument: „Ein kohärenter Zustand ähnelt einem klassischen Zustand, weil er sich nicht ändert, wenn man Erregungen vernichtet“, ziemlich falsch ist. Tatsächlich sollte auch die Umkehrung gelten, was nur dann der Fall ist, wenn$\vert\alpha\rangle$ist Eigenzustand von$\hat{a}^\dagger$sowie.

Auch diese Argumentation gefällt mir nicht. Die Ähnlichkeit kohärenter Zustände mit klassischen Zuständen ist eine Folge ihrer Dynamik, die das Ergebnis des Hamilton-Operators ist.

Die erste Frage wurde bereits in anderen Antworten behandelt, aber ich fasse sie der Vollständigkeit halber noch einmal zusammen:$a^\dagger$hat keine rechten Eigenvektoren , aber linke Eigenvektoren ,

$$\langle\alpha | = |\alpha\rangle^\dagger = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\alpha^*)^n}{\sqrt{n!}}\langle n|,$$ genau, wie in der Frage vorgeschlagen. Diese Tatsache wird routinemäßig bei der Ableitung der Pfadintegralformulierung in Bezug auf kohärente Zustände verwendet. Das ist wirklich eine Hausaufgabenfrage.

Zur zweiten Frage: Die Behauptung über die Ähnlichkeit der kohärenten Zustände mit den klassischen Zuständen wird normalerweise im Zusammenhang mit der Quantisierung elektromagnetischer Felder aufgestellt, wobei die Feldoperatoren beispielsweise dargestellt werden durch

$$\hat{E}(x,t) =\lambda e^{-ikx}a^\dagger(t) + \lambda e^{ikx}a(t).$$ Mit der Entwicklung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die durch den ungestörten Hamiltonian gegeben sind,$a(t)=ae^{_i\omega t}, a^\dagger(t)=a^\dagger e^{i\omega t}$, die Mittelung über die kohärenten Zustände ergibt $$\langle \alpha | \hat{E}(x,t)|\alpha\rangle = \lambda e^{-ikx+i\omega t}\alpha^* + \lambda e^{ikx-i\omega t}\alpha = E_0\cos(kx-\omega t+\phi),$$ dh der klassische Ausdruck für die elektrische Feldstärke. Andererseits besagt die Zahl,$|n\rangle$haben keine direkte klassische Entsprechung - die Werte der elektromagnetischen Felder in diesen Zuständen sind undefiniert. Diese Entsprechung zum kohärenten elektromagnetischen Feld ist der Grund dafür, diese Zustände kohärent zu nennen .