Kovarianzmatrix nach Projektion auf den Gaußschen Zustand

Ich kann den Beweis im Eisert-Artikel ( https://arxiv.org/abs/quant-ph/0204052 ) über das Finden der Kovarianzmatrix eines Zustands nach der Projektion einiger seiner Modi auf einen Gaußschen Zustand nicht verstehen.

Wir haben die charakteristische Funktion des verbleibenden (nicht projizierten) Modenwesens

χ ( ξ A ) = 1 π 2 ∫ D ξ 5 … D ξ 8 e − ξ T Γ ' ξ / 2 e − ξ B T γ ξ B
Wo ξ = ( ξ A , ξ B ) , Die Etiketten A Und B bezieht sich jeweils auf das Subsystem, das "verbleibt", und auf das Subsystem, das auf einen Gaußschen Zustand mit Kovarianzmatrix projiziert wird γ = D ich A G ( 1 / D , D , 1 / D , D ) und wo
Γ ' = ( C 1 C 3 C 3 T C 2 )
Er stellt dann fest, dass die resultierende Kovarianzmatrix nach Durchführung der Integration ist
M D = C 1 − C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1 C 3 T
aber ich habe keine Ahnung, wie er es schafft, die Integration durchzuführen, seit der Amtszeit ξ Γ ' ξ hat gemischte Begriffe darin gelesen ξ B T C T ξ A Und ξ A T C ξ B und ich weiß nicht, wie ich sie behandeln soll.

Irgendein Hinweis?

Kann man nicht einfach die Quadrate für die A- bzw. B-Variablen vervollständigen?
Ich schaue mir denselben Artikel an und bin mit der Notation verwirrt. In Γ ' , für mich sieht es so aus C 1 entspricht den Modi A 1 Und B 1 im Artikel erwähnt. Ist das korrekt? Dh in Ihrer hier eingeführten Notation, C 1 ist das mit den verbleibenden modi verbunden (die eigentlich über die beiden im artikel genannten parteien liegen)? Dies scheint seltsam, da die Basis für alle Ausdrücke vorher festgelegt worden zu sein scheint ( A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ) während Γ ' scheint in der Basis geschrieben zu sein ( A 1 , B 1 , A 2 , B 2 ) .

Antworten (1)

Wie von @flippiefanus vorgeschlagen, geht es darum, das Quadrat zu vervollständigen. (Oder alternativ ist es eine bekannte Formel für die Gaußsche Integration, aber das klingt ein bisschen nach Betrug)

Wenn ich mich nicht irre, ist Ihnen in Ihrer ersten Gleichung, nämlich Gleichung (8) im Artikel von Eisert, Scheel, Plenio, ein Tippfehler unterlaufen. Sie sollten ersetzen γ von γ 2 2 . Wir haben dann

χ ( ξ A ) = 1 π 2 ∫ D ξ B exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A − 1 2 ξ B T C 3 T ξ A − 1 2 ξ A T C 3 ξ B − 1 2 ξ B T ( C 2 + γ 2 ) ξ B ) = exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A ) π 2 ∫ D ξ B exp ⁡ ( − 1 2 ξ B T C 3 T ξ A − 1 2 ξ A T C 3 ξ B − 1 2 ξ B T ( C 2 + γ 2 ) ξ B ) .
Die Idee ist, das Argument des Integranden als auszudrücken − 1 2 ( ξ B + Δ ) T M ( ξ B + Δ ) + 1 2 Δ T M Δ , Die " + Δ " Übersetzung von ξ B bei der Integration irrelevant. Dieser Ausdruck wird
− 1 2 ξ B T M Δ − 1 2 Δ T M ξ B − 1 2 ξ B T M ξ B
was, wenn es mit dem Argument des Exponentials identifiziert wird, zu führt
M = C 2 + γ 2 M Δ = C 3 T ξ A Δ T = ξ A T C 3 M − 1 = ξ A T C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1

Wir haben dann

χ ( ξ A ) = exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A ) π 2 ∫ D ξ B exp ⁡ ( − 1 2 ( ξ B + Δ ) T M ( ξ B + Δ ) + 1 2 Δ T M Δ ) = exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A + 1 2 Δ T M Δ ) π 2 ∫ D ξ B exp ⁡ ( − 1 2 ( ξ B + Δ ) T M ( ξ B + Δ ) ) = exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A + 1 2 Δ T M Δ ) π 2 ∫ D ξ B exp ⁡ ( − 1 2 ξ B T M ξ B ) ⏟ Skalar unabhängig von  ξ A ∝ exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A + 1 2 ξ A T C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1 C 3 T ξ A ) = exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T ( C 1 + C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1 C 3 T ) ⏟ M D ξ A )

Hey Frédéric, könntest du erklären, wo der Platz auf der γ kommt von. In dem Artikel heißt es, dass der projizierte Zustand eine Kovarianzmatrix hat γ aber dann plötzlich in der Gaußschen Integration γ 2 taucht im Exponenten auf. Das ergibt für mich keinen Sinn.
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