Homodyndetektion als Quantenmessung

Ich denke, Ihre Verwirrung beruht auf einem Missverständnis: Ein Homodyn-Nachweis misst nicht direkt$\langle q \rangle$, sondern ein Wert des Operators$\hat q$, indem der Zustand auf einen seiner Eigenzustände, einen unendlich gequetschten Zustand, projiziert wird.

Dies wird deutlich, wenn Sie eine zeitaufgelöste Homodyn-Erkennung verwenden, wie sie für ein Quantenkommunikationsprotokoll wie die kontinuierlich variable Quantenschlüsselverteilung benötigt wird. Der erste Schritt bei der Verwendung einer solchen Erkennung besteht darin, sie auf Vakuum zu kalibrieren: Sie senden nichts – das ist der Vakuumzustand$\lvert0\rangle$– viele Male in Ihre Homodyne-Erkennung ein und erstellen Sie Statistiken. Wenn alles richtig funktioniert, wird Ihr Ergebnis mit einer Gaußschen Verteilung verteilt und ihre Varianz (ohne elektronisches Rauschen) ist die Varianz des Vakuums$\Delta Q=1$, und es sollte durchschnittlich sein$\langle q \rangle=0$.

In vielen Fällen interessiert sich der Quantenoptik-Experimentator nur für die Varianz, z. B. um zu zeigen, dass sie unter Eins liegen, um das Quetschen zu beweisen, und verwendet aus praktischen Gründen frequenzaufgelöste Homodyndetektionen. In diesen Fällen erfolgt die Berechnung des Mittelwerts und der Varianz oft analog durch einen Spektrumanalysator, was zu einem Sprach- und Notationsmissbrauch führt$\langle q\rangle$anstatt$\hat q$, denn wann kann man messen$\hat q$, können Sie oft messen$\langle q \rangle$, wobei die Wiederholungsrate oft hoch genug ist, dass die Statistiken effektiv „sofort“ erfasst werden. Ich vermute, dass diese Art von Abkürzung die Quelle Ihrer Verwirrung ist.

Gute Frage. Um ehrlich zu sein, habe ich nie darüber nachgedacht, dass die Homodyn-Messung in gewissem Sinne eine "indirekte" Messung einer Quadratur ist. Auch wenn ich relativ neu bin, versuche ich zu antworten.

Zunächst einmal denke ich, dass Sie Ihre Vorstellung von der Quantenmessung umkehren sollten. Nehmen wir an, wir haben ein Quantensystem im Zustand$|\psi\rangle$. Wir können den (statistischen) Mittelwert einer Observable interpretieren$A$, dh,$<A>=\langle\psi|A|\psi\rangle$als Mittelwert der Ergebnisse einer Messung von$A$auf einer Menge von unabhängig vorbereiteten Zuständen$|\psi\rangle$. Mit anderen Worten, Sie sollten an denken$<A>$als statistischer Parameter. Ihre Vision ist eine operative Interpretation von$<A>$, was eine mathematische Größe ist.

Fassen wir nun das Prinzip der homodynen Detektion zusammen, das aus einem Strahlteiler (mit Transmissions- und Reflexionskoeffizienten) besteht$t$Und$r$) und zwei Photonendetektoren. Nehmen Sie nun ein einfaches nicht balanciertes Homodyn an. Der Zustand an den Eingangsports ist gegeben durch:$|\phi\rangle=|\psi\rangle_1|\alpha_0\rangle_2$wobei der Zustand am zweiten Tor ein kohärenter Zustand ist, der durch einen starken Laserstrahl erzeugt wird. Im Heisenberg-Bild ist der Zahlenoperator am ersten Ausgangsport gegeben durch:

$${n_1}'=|t|^2{n_1}+|r|^2{n_2}+t^*ra_1^{\dagger}a_2+r^*ta_2^{\dagger}a_1$$ Wo$n_1,n_2,a_1,a_2$sind die Zahlenoperatoren und Vernichtungsoperatoren des ersten "Ports" bzw. des zweiten "Ports". Dieses Ergebnis sollten Sie kennen. Nun, angesichts des gemeinsamen Staates$|\phi\rangle$, können Sie berechnen$<n_1'>$, und unter Verwendung der Annahme eines starken Laserstrahls (d. h.$|\alpha_0|^2\gg\langle\psi|n_1|\psi\rangle)$, das erfährst du: $$<n_1'>=\langle\phi|n_1'|\phi\rangle = |r|^2|\alpha_0|^2 + \kappa\langle\psi|q_1|\psi\rangle$$ Wo$\kappa$ist etwas konstantes und$q_1$die Positionsquadratur des Zustands am ersten Port der BS ist (genauer gesagt, es ist eine Drehung dieser Quadratur, aber das spielt jetzt keine Rolle). Wenn Sie jetzt eine Fotodiode verwenden, ist der Ausgangsstrom$i_D\propto<n_1'>.$Nun, Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass wir nicht messen$q_1$. In der Tat, die effektive$<q>$ist eingebettet in die Variation von$<n_1'>$. Allerdings sollten Sie dies in einer statistischen Betrachtung interpretieren. Das Ergebnis, das wir gefunden haben, könnte wie folgt umformuliert werden

Der Mittelwert einer (einfachen) homodynen Messung, die an einer Menge unabhängig voneinander vorbereiteter Zustände durchgeführt wird$|\psi\rangle$, wird durch gegeben$<n_1'>$.

Abschließend können wir wie folgt synthetisieren.$n_1'$ist eine Observable und ihre Eigenvektoren sind Fock-Vektoren. Der Strahlteiler wirkt auf den Eingangszustand ein, um einen Ausgangszustand zu erzeugen, dessen Wahrscheinlichkeiten (auf der Fock-Basis) etwas "proportional" zu den Quadraturwerten des Eingangszustands sind. Genauer gesagt ist sein Mittelwert genau proportional zum Mittelwert der Quadratur$a$. Dies ist keineswegs intuitiv, aber es ist wahr, da es mathematisch bewiesen ist (Vision des QM: Halt die Klappe und rechne).