Verallgemeinerte Messungen und Kollaps

Meine Referenz ist Nielsen und Chuangs „Quantum Computation and Quantum Information“. Bei der Einführung von Qubits | ψ ⟩ = a | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ das sagen die Autoren

(*) Wenn wir ein Qubit messen, erhalten wir entweder das Ergebnis 0 mit Wahrscheinlichkeit | a | 2 , oder das Ergebnis 1 mit Wahrscheinlichkeit | β | 2 .

und das

(**)Ein klassisches Gebiss ist wie eine Münze: entweder Kopf oder Zahl nach oben. [..] Im Gegensatz dazu kann ein Qubit in einem Zustandskontinuum zwischen existieren | 0 ⟩ Und | 1 ⟩ - bis es beobachtet wird. Lassen Sie uns noch einmal betonen, dass, wenn ein Qubit gemessen wird, es immer nur " 0 " oder " 1 " als Messergebnis - probabilistisch.

Bei der Einführung von Messoperatoren definieren sie diese als Operatoren M M wo der index M bezieht sich auf die möglichen Messergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses M auftritt wird durch gegeben P ( M ) = ⟨ ψ | M M † M M | ψ ⟩ und der Zustand des Systems nach der Messung ist M M | ψ ⟩ ⟨ ψ | M M † M M | ψ ⟩ . Diese Operatoren müssen die Vollständigkeitsrelation ( ∑ M M M † M M = ICH ). Sie führen die projektive Messung als einen besonderen Fall ein, in dem die Operatoren hermitesch sind und M M M N = δ M N M M . Sie zeigen, dass ihre frühere Beobachtung zur Messung von Qubits mithilfe von projektiven Operatoren erzielt wird M 0 = | 0 ⟩ ⟨ 0 | Und M 1 = | 1 ⟩ ⟨ 1 | .

Für meine Zwecke muss ich ein Qubit mit den folgenden Messoperatoren messen:

M 1 = ( cos ⁡ θ 0 0 Sünde ⁡ θ ) , M 2 = ( Sünde ⁡ θ 0 0 cos ⁡ θ ) ,

für einige echte θ . Somit ist das Ergebnis nach der Messung entweder cos ⁡ θ | 0 ⟩ + Sünde ⁡ θ | 1 ⟩ oder Sünde ⁡ θ | 0 ⟩ + cos ⁡ θ | 1 ⟩ , abhängig vom Messergebnis M ich , ich = 1 , 2 .

Meine Frage:

Durch Messen eines Qubits mit Operatoren M 1 Und M 2 Ich scheine immer noch etwas in einer Überlagerung von Zuständen zu bekommen, scheinbar im Gegensatz zu den Aussagen, die ich zuvor zitiert habe (eine Messung an einem Qubit muss immer nur geben 0 oder 1 ). Entsteht dieser scheinbare Widerspruch aufgrund der von mir verwendeten Messoperatoren? Mit anderen Worten, stimmt es, dass (*) und (**) im speziellen Fall einer projektiven Messung zutreffen und dass eine allgemeinere Art der Messung immer noch eine Überlagerung zurückgeben kann?

Antworten (1)

Ob sich ein Zustand in Superposition befindet, hängt ganz davon ab, was Ihre Messbasis ist. Wenn Sie Ihre Messbasis ändern, ändert sich, welche Zustände in Bezug auf diese Basis überlagert sind.

Lassen Sie zum Beispiel | 0 ⟩ Und | 1 ⟩ Seien Sie die Staaten mit bestimmten Spin in der z -Richtung, und lassen | + ⟩ Und | − ⟩ Seien Sie die Staaten mit bestimmten Spin in der X -Richtung. Aus den Beziehungen zwischen den Pauli-Matrizen haben wir das:

| + ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ )
| − ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ )

und ebenso haben wir das:

| 0 ⟩ = 1 2 ( | + ⟩ + | − ⟩ )
| 1 ⟩ = 1 2 ( | + ⟩ − | − ⟩ )

So | + ⟩ Und | − ⟩ sind Überlagerungen bezüglich der z -Basis und | 0 ⟩ Und | 1 ⟩ sind Überlagerungen bezüglich der X -Basis.

Ich bin mir nicht sicher, wie das meine Frage beantwortet. Angenommen, das System ist im Zustand vorbereitet | 0 ⟩ . Messung des Systems mit dem projektiven Messoperator | 0 ⟩ ⟨ 0 | ergibt als Ergebnis 0 mit Wahrscheinlichkeit 1. Wenn ich einen Basiswechsel durchführe und schreibe | 0 ⟩ = | + ⟩ + | − ⟩ 2 , Messung mit projektiven Operatoren | + ⟩ ⟨ + | Und | − ⟩ ⟨ − | wir erhalten + mit Wahrscheinlichkeit 1/2 und - mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Es gibt so oder so keine Überlagerung.
Ok, was definieren Sie dann als Überlagerung? Können Sie einige Beispiele nennen?
Jede komplexe lineare Kombination wie ∑ ich a ich | ψ ich ⟩ . Nachdem eine Messung mit projektiven Operatoren durchgeführt wurde, haben wir so etwas nicht, siehe meinen vorherigen Kommentar. Oder liege ich komplett falsch?
Ich denke, ich sollte angeben, dass ich eine Überlagerung wie eine Linearkombination nenne ∑ ich a ich | ψ ich ⟩ mit mindestens zwei Termen ungleich Null
@D.Joe Sie werden so etwas nicht in der Basis haben, in der Sie gemessen haben . Auf einer anderen Grundlage könnten Sie. Wenn Sie mit dem Staat beginnen 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) und Sie messen seinen Spin in der z -Richtung, der Zustand nach der Messung ist entweder | 0 ⟩ oder | 1 ⟩ , also keine Überlagerung in der Messbasis. Allerdings seit | 0 ⟩ = 1 2 ( | + ⟩ + | − ⟩ ) Und | 1 ⟩ = 1 2 ( | + ⟩ − | − ⟩ ) , beide Post-Measurement-Zustände liegen nun in Überlagerung im Spin-on-the- X -Achsenbasis.
@D.Joe Das bezieht sich auf die Idee, die sich entlang dreht z -Achse und Spin entlang der X -Achse sind inkompatible Observablen . Es ist nicht möglich, eine Wellenfunktion mit bestimmten Werten von beiden gleichzeitig zu haben.
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