Wie berechnet man den Zustand eines Quantensystems nach einer unvollkommenen Messung?

Question

Wie berechnet man den Zustand eines Quantensystems nach einer unvollkommenen Messung?

Daniel Sank

Angenommen, ich habe ein Quantensystem $S$ ("System") mit Hamiltonian $H_S$ und Anfangsdichtematrix $\rho_S(0)$ . Ich erlaube $S$ mit einem anderen System zu interagieren $P$ ("Sonde"), die Hamiltonian hat $H_P$ und Ausgangszustand $\rho_P(0)$ , über einen Wechselwirkungs-Hamiltonoperator $H_I$ . Dann messe ich $P$ in der Basis des Operators $\hat{Q}$ .

Angenommen, mein klassisches Auslesegerät ist unvollkommen: Wenn $P$ ist im Zustand $\lvert q \rangle$ was ein Eigenzustand von ist $\hat{Q}$ mit Eigenwert $q$ , dann spuckt mein Auslesegerät Zahlen aus $q_\text{readout}$ nach einer statistischen Verteilung, die davon abhängt $q$ . Beispielsweise könnten wir einen Fall haben, in dem der Auslesewert gaußförmig verteilt ist $q$ , dh

P (q_{vorlesen} | q) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(q_{vorlesen} - q)^{2}}{2 σ^{2}}] .

$P(q_\text{readout} | q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left[ - \frac{(q_\text{readout} - q)^2}{2 \sigma^2} \right] \, .$

Angesichts der Hamiltonianer $H_S$ , $H_P$ , $H_I$ , die Anfangszustände $\rho_S$ und $\rho_P$ , die Funktion $P(q_\text{readout}|q)$ , und einem realisierten Messwert $q_\text{readout}$ , welche Konzepte/Ansätze verwendet man, um den Zustand des kombinierten Systems herauszufinden $S \otimes P$ nach der Messung? Wie ändert sich das Ergebnis, wenn der Messwert $q_\text{readout}$ wird ignoriert?

Eine erlaubte Vereinfachung wäre es, den Zustand des kombinierten Systems zu nehmen $\rho_{S P}$ nach dem Interaktionsschritt als bekannte Größe. Mit anderen Worten, wir sind nicht so sehr daran interessiert, die Entwicklung von zu berechnen $S \otimes P$ unter der Interaktion $H_I$ . Ich denke jedoch, ob oder nicht $H_I$ pendelt mit $H_S$ wird wichtig.

Anmerkungen

Während die beispielhafte Wahrscheinlichkeitsverteilung (dh die Gaußsche) kontinuierlich ist, ist das Spektrum von $\hat{Q}$ , und/oder die Verteilung $P(q_\text{readout}|q)$ kann diskret sein. Ich nehme an, es ist sogar möglich, eine kontinuierlich und die andere diskret zu haben!

Ressourcen

Eine einfache Einführung in die kontinuierliche Quantenmessung von Jacobs und Steck.

Daniel Sank

Ich habe es vermieden, eine vollständige pädagogische Entwicklung der für diese Frage relevanten Theorie in Bezug auf die Hausaufgabenrichtlinie der Website zu fordern. Ich denke jedoch, dass ein Beispiel und einige spezifische Gleichungen das Verständnis einer allgemeineren Antwort erleichtern würden. Mit anderen Worten, ich verlange kein Lehrbuch, aber bitte schreiben Sie trotzdem eines :P

David

Eine gute Referenz sind die ersten 50 Seiten von Braginskys Buch über Quantenmessung: amazon.com/Quantum-Measurement-Vladimir-B-Braginsky/dp/… Ich denke, es geht direkt auf indirekte, „nicht-orthogonale“ Messungen ein.

Norbert Schuch

Verstehe ich das richtig, dass Ihre "unvollkommene Messung" durch eine perfekte Messung beschrieben werden kann

\hat{Q}

$\hat Q$ , gefolgt von einem klassischen "Scrambling" nach zB einer Gaußschen Verteilung?

Daniel Sank

@NorbertSchuch Ich habe nicht sorgfältig über diese Unterscheidung nachgedacht. Kann das Problem so beschrieben werden, dass der von Ihnen vorgeschlagene Fall als Spezialfall eines allgemeineren betrachtet wird?

Norbert Schuch

In dem von mir beschriebenen Fall sollte es ziemlich einfach sein, herauszufinden, wie man den Zustand nach der Messung beschreibt. (Die Antwort, wenn Sie ignorieren

q_{r e a d o u t}

$q_\mathrm{readout}$ ist sogar unmittelbar.) Wenn die Situation anders ist, ist Ihr Problem eindeutig unterspezifiziert (und ich weiß nicht einmal, was Sie mit "

P

$P$ ist im Zustand

| q ⟩

$\vert q\rangle$ "). Stellen Sie sich als Extremfall vor, Sie messen nichts und geben nur etwas Zufälliges aus

q_{r e a d o u t}

$q_\mathrm{readout}$ (oder, realistischer, Sie versuchen, eine "schwache" Messung mit minimaler Störung zu beschreiben, die keine Informationen über das Notwendige hinaus verliert).

Antworten (1)

Wie berechnet man den Zustand eines Quantensystems nach einer unvollkommenen Messung?

Ich habe es vermieden, eine vollständige pädagogische Entwicklung der für diese Frage relevanten Theorie in Bezug auf die Hausaufgabenrichtlinie der Website zu fordern. Ich denke jedoch, dass ein Beispiel und einige spezifische Gleichungen das Verständnis einer allgemeineren Antwort erleichtern würden. Mit anderen Worten, ich verlange kein Lehrbuch, aber bitte schreiben Sie trotzdem eines :P
Eine gute Referenz sind die ersten 50 Seiten von Braginskys Buch über Quantenmessung: amazon.com/Quantum-Measurement-Vladimir-B-Braginsky/dp/… Ich denke, es geht direkt auf indirekte, „nicht-orthogonale“ Messungen ein.
Verstehe ich das richtig, dass Ihre "unvollkommene Messung" durch eine perfekte Messung beschrieben werden kann $\hat Q$ , gefolgt von einem klassischen "Scrambling" nach zB einer Gaußschen Verteilung?
@NorbertSchuch Ich habe nicht sorgfältig über diese Unterscheidung nachgedacht. Kann das Problem so beschrieben werden, dass der von Ihnen vorgeschlagene Fall als Spezialfall eines allgemeineren betrachtet wird?
In dem von mir beschriebenen Fall sollte es ziemlich einfach sein, herauszufinden, wie man den Zustand nach der Messung beschreibt. (Die Antwort, wenn Sie ignorieren $q_\mathrm{readout}$ ist sogar unmittelbar.) Wenn die Situation anders ist, ist Ihr Problem eindeutig unterspezifiziert (und ich weiß nicht einmal, was Sie mit " $P$ ist im Zustand $\vert q\rangle$ "). Stellen Sie sich als Extremfall vor, Sie messen nichts und geben nur etwas Zufälliges aus $q_\mathrm{readout}$ (oder, realistischer, Sie versuchen, eine "schwache" Messung mit minimaler Störung zu beschreiben, die keine Informationen über das Notwendige hinaus verliert).

Daniel · Answer 1

Unter der Annahme, dass das System und die Sonde anfänglich nicht korreliert sind, ist dies die anfängliche Dichtematrix

ρ (0) = ρ_{S} (0) \otimes ρ_{P} (0) .

$\rho(0) = \rho_S(0) \otimes \rho_P(0).$

Nach der Interaktion für eine Weile $t$ , das System und die Sonde sind verschränkt

ρ (t) = e^{- ich H_{voll} t} ρ (0) e^{ich H_{voll} t} \equiv ρ_{S P} .

$\rho(t) = e^{-i H_{\text{full}}t}\rho(0)e^{iH_{\text{full}}t} \equiv \rho_{SP}.$

Dann das Beobachtbare $\hat Q$ gemessen wird, die geschrieben werden kann

\hat{Q} = \sum_{q} q {\hat{Π}}_{q}, mit {\hat{Π}}_{q} = \sum_{j} | q, j ⟩ ⟨ q, j |,

$\hat Q = \sum_q q\hat\Pi_q,\qquad\text{with}\quad\hat\Pi_q=\sum_j|{q,j}\rangle\langle{q,j}|,$ dh,

\hat{Q}

$\hat Q$ hat ein diskretes Spektrum (kontinuierlich bedeutet, die Summe durch ein Integral zu ersetzen), wobei der Eigenwert

q

$q$ hat einen Eigenraum, der von aufgespannt wird

| q, j ⟩

$|q,j\rangle$ (Es ist degeneriert, wenn mehr als on vorhanden ist

j

$j$ , was die typische Situation ist).

Bei einer projektiven Messung von $\hat Q$ erhält man den Eigenwert $q$ mit Wahrscheinlichkeit $P(q)=\text{Tr}[\rho(t)\hat Q]$ . Der Zustand Ihres Systems ist dann

ρ_{q} = \frac{{\hat{Π}}_{q} ρ (t) {\hat{Π}}_{q}}{P (q)} .

$\rho_q=\frac{\hat\Pi_q\rho(t)\hat\Pi_q}{P(q)}.$

Wenn Sie gemessen haben $q_r$ , aber Ihr Messgerät überträgt die Informationen nicht korrekt (was Norbert Schuch in seinem Kommentar als „klassische Verwürfelung“ bezeichnete), dann ist Ihr Zustand

ρ_{q_{r}} = \int d q P (q | q_{r}) ρ_{q} .

$\rho_{q_r} = \int dq \, P(q|q_r)\,\rho_q.$ (oder eine Summe, wenn Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret ist.) Wie Noiralef kommentierte:

P (q | q_{r})

$P(q|q_r)$ ausgerechnet werden muss

P (q_{r} | q)

$P(q_r|q)$ oben unter Verwendung des Satzes von Bayes gegeben. Ihre anfängliche Vermutung könnte eine Gleichverteilung für sein

P (q)

$P(q)$ , obwohl dies nicht notwendigerweise eine gleichmäßige Verteilung für bedeutet

P (q_{r})

$P(q_r)$ .

Wenn Sie Ihr Messprotokoll ganz ignorieren, ist der Zustand Ihrer Anlage

ρ_{ignorieren} = \int d q P (q) ρ_{q} = \int d q {\hat{Π}}_{q} ρ (t) {\hat{Π}}_{q} .

$\rho_{\text{ignore}} = \int dq\, P(q)\rho_q = \int dq\,\hat\Pi_q\rho(t)\hat\Pi_q.$ Dies ist der bedingungslose Zustand . In diesem Fall (und im ersteren) alle Zusammenhänge zwischen verschiedenen

q

$q$ Untersektoren sind weg (wenn Sie die Dichtematrix in einer Basis schreiben, in der verschiedene Blöcke unterschiedlichen entsprechen

q

$q$ , dann sind alle Blöcke außerhalb der Diagonale Null).

Schließlich könnten Sie den Fall betrachten, in dem die Messung schwach ist. Dies ist der Fall, in dem wir wirklich mehr über die Messung wissen sollten. Unter der Annahme, dass alles kontinuierlich ist, können Sie eine Familie von Kraus-Operatoren aufschreiben

{\hat{Υ}}_{q_{r}} = P (q_{r} | \hat{Q}),

$\hat{\Upsilon}_{q_r}=P(q_{\text{r}}|\hat Q),$ wo Sie gerade die Nummer ersetzt haben

q

$q$ mit dem Betreiber

\hat{Q}

$\hat Q$ in deinem Ausdruck oben. In diesem Fall ist der Zustand Ihres Systems nach der Messung

ρ_{q_{r}} = \frac{{\hat{Υ}}_{q_{r}} ρ (t) {\hat{Υ}}_{q_{r}}^{†}}{Tr [ρ (t) {\hat{Υ}}_{q_{r}}^{†} Υ_{q_{r}}]} .

$\rho_{q_r} = \frac{\hat\Upsilon_{q_r}\rho(t)\hat\Upsilon_{q_r}^\dagger}{\text{Tr}[\rho(t)\hat\Upsilon_{q_r}^\dagger\Upsilon_{q_r}]}.$ Betrachtet man nun den unbedingten Zustand durch Integration rüber

q_{r}

$q_r$ , Sie werden feststellen, dass es nicht blockdiagonal ist!

Bearbeiten: Vielen Dank an Noiralef für den Hinweis auf Tippfehler und den Satz von Bayes.

Ich glaube, hier sind einige Fehler. 1.) Wird das Messergebnis ignoriert, sollte der Zustand danach sein $\int dq\, P(q) \rho_q$ mit $P(q) = tr[\rho(t) \hat \Pi_q]$ . Beachten Sie, dass Ihr Ausdruck für $\rho_{ignore}$ hat keine Einheitsspur. 2.) Bei "klassischem Scrambling" finde ich den resultierenden Zustand $\int dq\, P(q|q_r) \rho_q$ und $P(q|q_r)$ muss aus dem Bekannten errechnet werden $P(q_r|q)$ unter Verwendung des Satzes von Bayes. 3.) In der letzten Gleichung fehlt ein Dolch. Schließlich denke ich, dass eine vollständige Antwort irgendwie auch die Wechselwirkung zwischen System und Sonde diskutieren sollte.
Vielen Dank für den Hinweis auf die Tippfehler und den Satz von Bayes. Da nichts angegeben ist, glaube ich nicht, dass ich die Wechselwirkung diskutieren kann. Vielleicht werde ich oder jemand anderes irgendwann ein Beispiel hinzufügen.

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