Wie beschreibt man einen Zustand mit einer Dichtematrix nach der Positionsmessung?

Wenn Sie bereits eine Dichtematrix haben, verwenden Sie das Heisenberg-Bild. Im Heisenberg-Bild ändert sich der Zustand nie. Stattdessen ändern sich die den Observablen entsprechenden Operatoren mit der Zeit. Wenn Sie also die Position zur Zeit messen$t_1$, dann ändert sich die Dichtematrix und der Zustand nicht, aber jetzt, wenn Sie später etwas anderes messen möchten, z. B. die Position zur Zeit$t_2$dann müssen Sie Operatoren wie berücksichtigen$\hat x(t_2)-\hat x(t_1)$je nachdem was man genau misst.

Vielleicht war Ihr Positionsoperator jedoch Teil Ihrer staatlichen Vorbereitung. Sie haben also Ihr System zur Zeit vermessen$t_0$und ein Ergebnis bekommen$x_0$und das alles war staatliche Vorbereitung. In diesem Fall ist Ihre Dichtematrix der reine Zustand$|x_0\rangle\langle x_0 |$. Wenn das Messen Teil der Vorbereitung war, aber das Ergebnis$x_0$war nicht, dann wenn$\Psi$der Rohmaterialzustand ist, dann könnten Sie den gemischten Zustand in Betracht ziehen$\displaystyle \int\mathrm dx\,\overline{\Psi(x)}\Psi(x)|x\rangle\langle x |.$

OK, das sind im Allgemeinen die Möglichkeiten, eine Dichtematrix zu verwenden, den Zustand in Ruhe zu lassen und die Operatoren entsprechend den Observablen im Laufe der Zeit anzupassen (der übliche Ansatz) oder einen reinen oder gemischten Zustand zu erstellen, je nachdem, wie Sie Ihren ursprünglichen Zustand genau vorbereitet haben. Aber der Hauptteil Ihrer Frage schien sich mit den Eigenzuständen des Positionsoperators zu befassen, also lassen Sie uns damit umgehen.

Ein Ansatz besteht darin, Rigged Hilbert Spaces oder etwas Ähnliches zu verwenden, damit Eigenfunktionen von Position und Impuls mathematisch legitime Dinge sind. Dies ist eine völlig zusätzliche Abstraktionsebene, das Bra und das Ket werden selbst zu Funktionen, sodass die Dichtematrix eine Funktion noch höherer Ordnung ist. Vielleicht ist es hilfreich, zuerst zu wissen, was eine Dichtematrix rückwärts und vorwärts ist, um sich nicht zu verirren.

Ein anderer Ansatz besteht darin, den tatsächlichen experimentellen Aufbau zu betrachten, bei dem die Messung nicht perfekt ist. Stattdessen haben Sie einen Detektor, der über einen endlichen Bereich reagiert, sodass der Eigenzustand der Zustand nach der Wechselwirkung ist, der über einen endlichen Bereich unterstützt wird. Stellen Sie sicher, dass eine physikalisch realisierbare Messung möglicherweise nicht vollständig ist, da andere Operatoren mit ihr kommutieren können. Machen Sie also nicht den mathematischen Fehler, anzunehmen, dass sie vollständig ist.

Sie können auch Gitteransätze verwenden, bei denen kontinuierlicher Raum durch ein diskretes Gitter aus Punkten ersetzt wird. Oder ersetzen Sie den unendlichen Raum durch eine riesige Kiste voller Länge$L$und nehmen Sie die Grenze als$L$geht später ins Unendliche. Oder jeder andere Ansatz, der die mathematischen Grundlagen ersetzt, aber darauf ausgelegt ist, die gleiche Antwort zu geben wie das, was wir in der Realität sehen, wenn Sie die endgültige Grenze nehmen.

Die Philosophie hinter all diesen Ansätzen ist, dass das Erhalten einer perfekten Eigenfunktion von Impuls oder Position nicht etwas ist, was Sie wirklich tun, sondern eine Annäherung an das, was Sie wirklich tun, eine Idealisierung. Sie können also entweder beschreiben, was Sie wirklich tun, oder Sie können das System so anpassen, dass es keinen Einfluss darauf hat, wie sich die Idealisierung von dem unterscheidet, was Sie wirklich tun. Sie haben eine gewisse Freiheit, die Mathematik und das Modell anzupassen, um Dinge zu berücksichtigen, die Sie nicht wirklich tun, um sie für Sie bequem zu machen. Bequemlichkeit ist für Sie wirklich der einzig legitime Grund, über Dinge zu sprechen, die Sie eigentlich nicht tun (und können).

Sie können den Vektor verwenden, es ist schwierig, ihn nur auf einer "niedrigeren Ebene" auszudrücken

Wenn du sagst$\langle x| x_0\rangle = \delta(x - x_0)$Sie sind bereits erfolgreich, auch wenn Sie etwas verwirrt darüber sind, was die "Quadratwurzel aus a$\delta$-Funktion" sieht in Bezug auf eine echte, ehrliche Wellenfunktion aus. Wenn Sie also beispielsweise das obige Ergebnis haben, können Sie es einfach schreiben

$$\hat x = \int_{\mathbb R} \mathrm dx'~ x' ~ |x'\rangle\langle x'|,$$ woher du das entdeckst $$\hat x |x_0\rangle = x_0 |x_0\rangle,$$ daher wenn$\rho_0 = |x_0\rangle\langle x_0|$Dann$\langle \hat x \rangle_{\rho_0} = x_0$, und wenn$\rho = |\Psi\rangle\langle\Psi|$für$|\Psi\rangle = \displaystyle \int_{\mathbb R} \mathrm dx~\Psi(x)|x\rangle$Dann $$\langle \hat x \rangle_\rho = \iiint_{\mathbb R^3} ~\mathrm dx~\mathrm dx'~\mathrm dx''~\langle x'' | \Psi^*(x'') ~ x' |x'\rangle\langle x'| ~ \Psi(x) |x\rangle = \int_{\mathbb R} \mathrm dx~\Psi^*(x) ~ x ~ \Psi(x).$$ Mache das Analoge für$\hat p$scheint auch machbar, aber Sie würden es schreiben, indem Sie die Fourier-Transformation zu und von der Basis schreiben, anstatt auf den Parameter einzuwirken$x$.

Daran ist also nichts auszusetzen; Sie fühlen sich, glaube ich, nur unwohl beim Schreiben$\Psi_{x_0}(x) = \sqrt{\delta(x - x_0)}$oder so, weil die Dirac$\delta$-Funktion ist nicht wirklich eine Funktion. Sie sollten sich dabei unwohl fühlen. Lassen Sie uns darüber sprechen, wie Sie es korrigieren können. (Haftungsausschluss: Ich stehle eine halbe Antwort von jemandem, dem ich bereits geantwortet habe.)

Wie man kontinuierliche Systeme macht

Für kontinuierliche Systeme wollen wir eine Familie von Lösungen, die auf einigen Parametern basieren, die ich gemeinsam als identifiziere$\alpha \in A$; die Lösungen werden dann einfach als bezeichnet$|\alpha\rangle$. Sie müssen keine Eigenfunktionen eines Hamilton-Operators oder Orthogonals oder ähnliches sein, um sie als "Basis" zu verwenden, sie müssen nur eine Hauptanforderung erfüllen: Es muss einen Normalisierungskern geben, eine Funktion$\mathcal N(\alpha)$, so dass sie mit dem Kernel "die Identität auflösen":

$$\hat 1 = \int_{A} d\alpha ~\mathcal N(\alpha)~ |\alpha\rangle\langle\alpha|,$$ Wo$\hat 1$ist der Identitätsoperator.

Diese Verallgemeinerung der üblichen Wahrscheinlichkeitsregel$|\psi(\alpha)|^2 = \operatorname{Pr}(a = \alpha|\text{state} = \psi)$ist in bestimmten Zusammenhängen notwendig, zum Beispiel wenn Sie als Grundlage für Ihre Wellenfunktionen von kohärenten Zuständen sprechen wollen und diese sich damit überlagern$\langle \alpha | \beta \rangle \ne 0$Wenn$\alpha \ne \beta$. Oder, wie Sie sehen, ist es notwendig, wenn Sie Gaußsche Werte verwenden möchten, die an verschiedenen Positionen zentriert sind, als Positionsbasis.

Sobald Sie die obige Eigenschaft haben, können Sie jeden Erwartungswert mit diesen Koordinaten berechnen. Da Trace zyklisch permutativ ist , sind Ihre Erwartungswerte

$$\langle A \rangle_\rho = \operatorname{Tr} \left(\hat A~\rho\right)$$ werden $$\langle A \rangle_\rho = \int_A \mathrm d\alpha~\mathcal N(\alpha)~\langle \alpha | ~\hat A ~ \rho~ |\alpha\rangle.$$ Eine Wahl, die wir wählen können, ist von den kohärenten Zuständen "inspiriert": let$\alpha = (q, p)$,$A = \mathbb R^2$, Und$\lambda$eine beliebige Konstante sein; können wir jetzt definieren $$|q, p\rangle = \int_{-\infty}^\infty \mathrm dx~ \left(2 \pi \lambda^2\right)^{-1/4}~ \exp\left({(x - q)^2 \over 4 \lambda^2} + i ~ \frac{p ~ x}{\hbar}\right)~|x\rangle$$ wo in der Tat wir nur behandeln$\langle x | x_0\rangle = \delta(x - x_0)$. Dann ist es nicht so schwer, das zu sehen$\langle q, p | \hat x | q, p\rangle = q$Und$\langle q, p | \hat p | q, p\rangle = p.$Wenn ich dann alles richtig gemacht habe$\mathcal N(q, p) = 1 / (2 \pi \hbar)$egal was$\lambda$tatsächlich ist, also können Sie es auf die Fehlertoleranz Ihrer Positionsmessung einstellen, wenn Sie möchten.

Nach der Messung

Wir wissen jetzt, dass der Staat$|\phi\rangle$ist das gleiche wie der Zustand:

$$|\phi\rangle = \hat 1 |\phi\rangle = \iint \frac{\mathrm dp~\mathrm dq}{h} |q, p\rangle \langle q, p | \phi\rangle = \iint \frac{\mathrm dp~\mathrm dq}{h} ~\phi(q, p)~ |q, p\rangle$$ Wir projizieren dies auf das Messergebnis, indem wir es akzeptieren$p$aber jede ablehnen$q \ne x_0$: $$\alpha |\phi'\rangle = \int \mathrm dp' ~|x_0, p'\rangle~ \iint \frac{\mathrm dp~\mathrm dq}{h} \langle x_0, p'| q, p\rangle ~ \phi(q, p).$$ Wir wählen$\alpha$den resultierenden Zustand zu normalisieren und$\lambda$um unsere Messgenauigkeit und diesen daraus resultierenden Zustand widerzuspiegeln$|\phi'\rangle$ist der Zustand des Systems nach der Position$x_0$wird gemessen. Ein Teil des Schwungs sollte dann "gequetscht" werden$\lambda$auf verschiedene Weise als Ergebnis dieser Übertragungsfunktion$\langle x_0, p'|q, p\rangle$: aber für sehr groß$\lambda$Die$p, p'$Ein Teil dieser Übertragung sieht aus wie eine Fourier-Transformation eines sehr breiten Gauß-Operators, und es ist ein sehr schmaler Gauß-Operator in Bezug auf$p - p'$, verhält sich also wie$\delta(p - p').$

Mir wurde beigebracht, dass, wenn Sie den Wert einer Observable für einen Zustand eines beschriebenen Systems messen$|\psi\rangle$dann "kollabiert" der Zustand des Systems auf den Eigenvektor, der dem gemessenen Eigenwert zugeordnet ist. ...

Nach dieser Logik, wenn Sie die Position eines beschriebenen Teilchens messen$|\psi\rangle$und Sie erhalten einen Wert$x_0$dann sollte der Zustand zu einem Eigenvektor kollabieren$|x_0\rangle$. Wie jedoch offensichtlich ist, ist dieser Eigenvektor die Dirac-Delta-Funktion in Positionsbasis,$\langle x|x_0\rangle = \delta (x-x_0)$. ...

Dies scheint mir inakzeptabel, da dieser Zustand nicht normalisierbar ist und außerdem einfache Dinge, wie z$\langle \hat{x}\rangle$sind für diesen Zustand undefiniert.

Exakt. Die Auflösung dieses Rätsels besteht darin, dass die ursprüngliche Annahme – der erste zitierte Satz – nicht allgemein gültig ist. Für diskrete Spektren ist es durchaus brauchbar, zum Beispiel für Spins (obwohl das Üben komplizierter ist als das einfache Projektionsturnen), aber für kontinuierliche Spektren ist es wörtlich genommen falsch. (Einige Interpretationen halten das Projektionspostulat in der Quantentheorie nicht einmal für notwendig - zB die statistische Interpretation von Ballentine).

Mathematisch bedeutet dies, dass es keine Born-normalisierbare Wellenfunktion gibt, die Orts- oder Impulssicherheit beschreiben würde.

Physikalisch besteht ein Ausweg darin, zu realisieren, dass Ergebnisse von Messungen kontinuierlicher Variablen immer eine nicht verschwindende Unsicherheit haben, und Peaks mit entsprechender Breite zu verwenden, um das System nach der Messung zu beschreiben. Wie sinnvoll das bisher war, ist mir allerdings nicht klar.

Ich erinnere mich, dass ich mir vor etwa zehn Jahren dieselbe Frage gestellt habe. Wie ist es möglich, jederzeit eine eindeutige Teilchenposition zu haben?

Die Antwort (und ich bin mir nicht sicher, wie sie in das Dichtematrixschema passt, da es schon eine Weile her ist) hängt mit der Dispersionsrelation des Systems zusammen).

In der Tat$\delta(x-x_o)$ist kein Eigenzustand irgendeines Systems (aber für einen Dirac-Brunnen, wenn ich mich nicht irre) und das Wellenpaket wird sich schnell zerstreuen, sobald die Messung durchgeführt wurde.

Mit anderen Worten, die Zeit an und für sich wird dazu führen, dass die anfängliche Überlagerung abflacht.

Grundsätzlich müssen Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aufrufen, um das Problem zu lösen, und schließlich eine zeitabhängige Dichtematrix.

Ist das sinnvoll?