Quantenmechanik - Positionsmessung

Tatsächlich ist das Ergebnis der experimentellen Apparatur ein Intervall$(x_0-\delta, x_0+\delta)$.$\delta>0$bleibt für die Genauigkeit des Instruments, das immer kleiner gemacht werden kann, aber nicht entfernt werden kann.

Es wird daher angenommen ( Axiom von Luders-von Neumann ), dass der Zustand unmittelbar vor der Messung durch die Wellenfunktion bestimmt wurde

$$\psi\:,$$ der unmittelbar danach ist, bis auf die Normalisierung, $$\chi_{(x-\delta, x+\delta)}\psi\:.$$ Hier $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=1$Wenn $x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)$Und $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=0$Wenn $x\not \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$.

Abstrakt, wenn der anfängliche Vektorzustand Zustand ist$\psi$, das letzte ist$P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}\psi$. Der Betreiber$P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}$der orthogonale Projektor des PVM des dem Intervall zugeordneten Positionsoperators ist$(x_0-\delta, x_0+\delta)$.

Offensichtlich ist dies die theoretische Beschreibung eines sehr idealen Messverfahrens.

Wenn anders als die Positionsobservable, deren Spektrum kontinuierlich ist, der Messvorgang eine Observable betrachtet$A$bei Punktspektrum und die Elemente des Spektrums isolierte Punkte sind, kann man immer von der Existenz eines Messinstruments ausgehen, dessen Empfindlichkeit$\delta>0$kleiner als der Abstand von Paaren aufeinanderfolgender Werte ist$A$. Auf diese Weise wird auch dann, wenn die Messung durch einen experimentellen Fehler beeinträchtigt wird, dargestellt$\delta>0$, können wir zwischen Eigenwertpaaren unterscheiden und das Luders-von-Neumann-Axiom nimmt die geläufigere Standardform an: Der Zustand nach der Messung mit Ergebnis$a_0$Verfahren wird durch den Eigenvektor mit Eigenwert repräsentiert$a_0$. (Dies gilt, wenn der Eigenraum eine Dimension hat$1$ansonsten gilt wieder die allgemeine abstrakte Form des L-vN-Axioms.)

NACHTRAG (Nach einigen Diskussionen mit valerio92).

Ich beweise hier im Detail, wie die allgemeine Form des Postulats von L-vN nach einer ungenauen Ortsmessung zum Standardpostulat des Zusammenbruchs der Wellenfunktion führt.

Für ein über den trennbaren komplexen Hilbert-Raum beschriebenes Quantensystem$\cal H$, ein Quantenzustand ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß$\mu$über dem nichtbooleschen Gitter$\cal L(\cal H)$von orthogonalen Projektoren im Hilbert-Raum (siehe diese Antwort von mir für weitere Details).$P \in \cal L(\cal H)$hat die Bedeutung einer Observable, deren Werte nur sind$0$oder$1$, ich meine ein beobachtbares JA/NEIN .$\mu(P)$ist die Wahrscheinlichkeit, dass$P$stellt sich als wahr heraus, wenn man es misst, wenn der Zustand ist$\mu$.

Der Satz von Gleason beweist das, wenn der Hilbert-Raum mit der Dimension trennbar ist$\neq 2$, gibt es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen diesen Wahrscheinlichkeitsmaßen und Dichtematrizen . Dies sind Unit-Trace, Trace-Klasse, positive Operatoren$\rho : \cal H \to \cal H$. Diese Korrespondenz ist so, dass

$$\mu_\rho (P) = tr(\rho P)$$ für jeden $P \in \cal L (\cal H)$.

Die allgemeine Form des Axioms von L-vN ist die folgende.

Das Axiom von L-vN . Lassen$P$ein orthogonaler Projektor sein, der eine elementare Observable des physikalischen Systems darstellt, und$\rho$ein Staat. Wenn das Ergebnis der Messung von$P$wenn der Staat ist$\rho$Ist$1$(JA) ist der Zustand nach der Messung

$$\rho_P = \frac{P\rho P}{tr(\rho P)}\:.\tag{1}$$ Dieses Postulat hat eine direkte bedingte Wahrscheinlichkeitsinterpretation: $\mu_{\rho_P}$ist das eindeutige Wahrscheinlichkeitsmaß so dass $$\mu_{\rho_P}(Q) = \frac{\mu(Q)}{\mu(P)}$$ für jeden $Q \in \cal L (\cal H)$mit $Q \leq P$.

Reine Zustände sind definitionsgemäß Extremalelemente des konvexen Körpers der genannten Maße. Mit anderen Worten eine Dichtematrix$\rho$ist ein reiner Zustand, wenn es keine gibt$p,q\in (0,1)$mit$p+q=1$und Dichtematrizen$\rho_1\neq \rho_2$so dass$\rho = p\rho_1 + q \rho_2$.

Es stellt sich heraus, dass$\rho$ist genau dann rein, wenn es die Form hat

$$\rho = |\psi \rangle \langle \psi |$$ für einige $\psi \in \cal H$mit $||\psi||=1$.

Offensichtlich Einheitsvektoren$\psi$Und$\psi'$definieren denselben reinen Zustand genau dann, wenn$\psi = e^{ia}\psi'$für einige$a \in \mathbb R$.

Das auf reine Zustände angewandte Postulat von L-vN spezialisiert sich auf diese Aussage

Axiom von L-vN (reine Zustände) . Lassen$P$ein orthogonaler Projektor sein, der eine elementare Observable des physikalischen Systems darstellt, und$|\psi \rangle \langle \psi |$ein reiner Zustand. Wenn das Ergebnis der Messung von$P$wenn der Staat ist$|\psi \rangle \langle \psi |$Ist$1$(JA), der Zustand nach der Messung ist immer noch rein hat die Form

$$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)}\:.\tag{2}$$

Seit$tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)= ||P \psi||^2$, so dass

$$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{||\psi|| \: ||\psi||}\:,$$ das Postulat kann wie folgt umformuliert werden.

Axiom von L-vN (reine Zustände 2) . Lassen$P$sei ein orthogonaler Projektor, der eine elementare Observable des physikalischen Systems darstellt, und sei der Einheitsvektor$\psi \in \cal H$einen reinen Zustand bis hin zu Phasen darstellen. Wenn das Ergebnis der Messung von$P$wenn der Staat vertreten wird durch$\psi$Ist$1$(JA) ist der Zustand nach der Messung immer noch rein und wird bis auf die Phasen durch den Einheitsvektor dargestellt

$$\psi_P = \frac{P\psi}{||P\psi||}\:.\tag{3}$$

Kommen wir schließlich zu der Position, die für ein Teilchen beobachtet werden kann, das sich entlang der realen Achse bewegt.

Hier${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)$und die beobachtbare Position ist der selbstadjungierte multiplikative Operator

$$(X \psi)(x):= x\psi(x)$$ mit offensichtlicher Domäne.

Die spektrale Zerlegung von$X$ordnet es dem projektorbewerteten Maß zu$\{P_E\}_{E \in B(\mathbb R)}$Wo$B(\mathbb R)$ist zum Beispiel die Klasse der Borel-Menge der reellen Achse$E$könnte ein Intervall sein$E=(a,b)$. Das sagt der Spektralsatz$P_E$ist so definiert

$$(P_E \psi)(x):= \chi_E(x)\psi(x)\quad \forall x \in \mathbb R\:.\tag{4}$$ Die Bedeutung des orthogonalen Projektors $P_E$Ist

$$\mbox{"the position of the particle stays in $E$"}$$

In der Tat, wenn$\psi \in L^2(\mathbb R, dx )$ein normalisierter Vektor ist, der einen reinen Zustand darstellt, die Wahrscheinlichkeit, dass$P_E$ist wahr ist

$$tr(P_E |\psi\rangle \langle \psi|)= ||P_E\psi||^2 = \int_{\mathbb R} |\chi_E(x) \psi(x)|^2 dx = \int_E |\psi(x)|^2 dx\:,$$ in perfekter Übereinstimmung mit elementareren Versionen der Quantenmechanik.

Mit dieser Interpretation messen$X$bedeutet, alle zu messen $P_E$oder zumindest die Klasse sich gegenseitig ausschließender Elementarsätze messen$P_{(ns, (n+1)s]}$mit$n \in \mathbb Z$Wo$s$ist die Empfindlichkeit des Instruments.

Nehmen wir an, dass der Anfangszustand des Teilchens rein ist und (bis auf Phasen) durch die (normierte) Wellenfunktion repräsentiert wird$\psi$. Angenommen, wir führen eine Messung der Position durch und stellen fest, dass das Teilchen darin bleibt$E \subset \mathbb R$. Wie ist der Zustand nach der Messung nach dem Postulat von Luders und von Neumann?

Wir können unsere dritte Version anwenden, die auf reine Zustände spezialisiert ist, die durch Einheitsvektoren beschrieben werden. Der Zustand nach der Messung$\psi_E$, bis zur Phase, wird durch den Vektor in (3) dargestellt:

$$\psi_E := \frac{P_E \psi}{||P_E \psi||}\:.$$ Unter Berücksichtigung von (4) finden wir $$\psi_E(x) = \frac{\chi_E(x) \psi(x)}{\sqrt{\int_E |\psi(z)|^2 dz}}\:.$$