Warum sind orthogonale Funktionen und Eigenwerte/Funktionen in der Quantenmechanik so wichtig?

Mehrere Gründe:

1. Orthogonale Funktionen entstehen auf natürliche Weise beim Studium der Sturm-Liouville-Theorie , die viele klassische und mathematische Modelle des Quantensystems enthält;

2. Allgemeiner gesagt ist es die Klasse der normalen Operatoren (und eines wichtigen Spezialfalls der selbstadjungierten Operatoren ), für die der Spektralsatz am einfachsten funktioniert und für die er am vollständigsten ist. Die Eigenvektoren solcher Operatoren sind immer orthogonal. Das "Diagonalisieren" eines Operators in jeder linearen Systemtheorie ist ein wichtiger Schritt zum Verständnis - es bedeutet, dass wir die Aktion des Operators in die Summe seiner Aktion auf insgesamt ungekoppelte Eigenvektoren entkoppeln können. Es ist ein wichtiger Schritt, um ein stark gekoppeltes Problem zu "entwirren". Im Zusammenhang damit, wenn der betreffende Hilbert-Raum ein Funktionenraum ist, wird die relevante Sturm-Liouville-Theorie, zfür den harmonischen Quantenoszillator zeigt, dass der lineare Raum aller "praktischen", normierbaren Quantenzustände von diskreten Eigenfunktionen aufgespannt wird. Mit anderen Worten, die Dimension des Hilbert-Raums ist zählbar unendlich, obwohl wir es mit Räumen stetiger Funktionen zu tun haben und Sie vielleicht intuitiv denken, dass die Dimension Kardinalität sein könnte$\aleph_1$, und das ist einfach zu beängstigend, um damit fertig zu werden!

3. Wir beschäftigen uns oft mit zwei wichtigen Erhaltungssätzen: Energieerhaltung und Wahrscheinlichkeitserhaltung. Diese Erhaltungssätze lassen sich am einfachsten ausdrücken, wenn die Basis für den relevanten Zustandsraum orthogonal ist – das bedeutet, dass Energie, Leistung oder Wahrscheinlichkeit, je nachdem, einfach die ist$\mathbf{L}^2$Länge eines beliebigen Vektors. Wir müssen in unserem inneren Produktraum keine Kreuzkopplungsterme verwalten. Ob Funktionen oder kartesische Basen für den dreidimensionalen euklidischen Raum, Projektionen und die Auflösung in Basisüberlagerungen sind immer viel einfacher und klarer, wenn die Basis orthogonal ist. Du wärst ein Trottel für Bestrafung, wenn du ein alltägliches geometrisches Problem lösen würdest$\mathbb{R}^3$mit einer allgemeinen, linear unabhängigen, aber nichtorthogonalen Basis, obwohl dies sicherlich möglich ist. Für Funktionsräume gelten genau die gleichen Prinzipien der Minimalisierung der intellektuellen Arbeit wie für$\mathbb{R}^3$. Energie- oder wahrscheinlichkeitserhaltende Systemtransformationen sind dann unitär und so weiter und so fort.