Was ist der Unterschied zwischen allgemeiner Messung und projektiver Messung?

Hinweis: Unten befindet sich eine kurze Zusammenfassung.

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Dies wird eigentlich auch in Nielsen&Chuang beschrieben: Sie lernen nichts über allgemeine Messungen, weil sie völlig äquivalent sind zu projektiven Messungen + unitärer Zeitentwicklung + Nebensystemen, was alles in Ihrem üblichen QM-Formalismus beschrieben wird.

Das Messpostulat

Fangen wir von vorne an. Lassen Sie uns zunächst das übliche Postulat der Quantenmechanik, wie Sie sie kennen, formulieren:

Messpostulat (erster Kurs):

Messungen werden durch projektionsbewertete Maße beschrieben, die durch das spektrale Maß einer Observablen definiert sind (selbstadjungierter Operator). Die Nachmessung gibt die Projektion auf den Teilraum der Messung an.

Zusätzlich dazu haben wir eine Reihe anderer Postulate, insbesondere haben wir das Postulat, dass die Quantenevolution von der Schrödinger-Gleichung bestimmt wird, also ist die Zeitevolution eine einheitliche Evolution. Das ist alles sehr schön, aber wenn Sie in Ihr Labor gehen, stellen Sie fest, dass das nicht der Fall ist.

Wie in Nielsen & Chuang ausgeführt wird, scheint es, dass manchmal der Quantenzustand nach Messungen zerstört wird (die Messung ist keine „Nicht-Zerstörungs-Messung“), sodass der Zustand nach der Messung nicht gut beschrieben zu sein scheint durch eine Projektion auf diesen Eigenraum. Aber Sie werden auch feststellen, dass Ihre Evolution nicht nach einem Hamiltonian verläuft und nicht einheitlich ist. Je nachdem, was Sie tun, kann Energie in das System eintreten oder es verlassen.

Warum ist das so? Das Hauptproblem, das Sie erkennen müssen, ist, dass sich alle Postulate in Ihrem ersten Kurs auf das beziehen, was wir ein "geschlossenes System" nennen. Keiner von ihnen gibt diese Anforderung tatsächlich an, aber sie alle brauchen sie. Nur in einem geschlossenen System bleibt Energie erhalten (ähnlich wie in der klassischen Mechanik), sodass wir erwarten können, dass die Zeitentwicklung einheitlich ist. Genauso gut können wir nur in einem geschlossenen System erwarten, dass Messungen immer durch projektive Messungen beschrieben werden.

Zeitentwicklung offener Quantensysteme

Was ist also mit offenen Quantensystemen , dh Systemen, die zusätzlich zu unserem System vorhanden sind?$S$mit einem Hilbertraum$\mathcal{H}_S$, haben wir eine unkontrollierte Umgebung$E$(zB im Labor)? Betrachten wir die Zeitentwicklung als Trainingsfall, weil sie von der klassischen Intuition aus viel einfacher zu verstehen ist – das gleiche Problem haben wir übrigens in der klassischen Mechanik!

In einem offenen System können wir einen Hilbert-Raum zuweisen, solange wir wissen, was die Umgebung tut$\mathcal{H}_E$, berechnen Sie den Hamilton-Operator auf dem kombinierten System$\mathcal{H}_S\otimes \mathcal{H}_E$, machen Sie Zeitentwicklung und verfolgen Sie die Umgebung (die Teilverfolgung ist das Äquivalent dazu, die Umgebung zu vergessen und nur das System zu berücksichtigen$S$). Mit anderen Worten, einen Staat vorbereitet zu haben$\rho_S$des Systems und unter der Annahme, dass es nicht mit einem Umgebungszustand korreliert$\rho_E$(darüber kann diskutiert werden), der zeitentwickelte Zustand$\rho_S$wird von gegeben

$$T(\rho)= \operatorname{tr}_E(U(\rho_S\otimes \rho_E)U^*)$$

wo$\operatorname{tr}_E$ist die partielle Spur. Das ist aber sehr umständlich. Wir wissen nicht immer, was die Umwelt tut. Anstatt also zu sagen, dass das offene Quantensystem Teil eines größeren, geschlossenen Systems ist, das eine einheitliche Zeitentwicklung durchmacht$U$, können wir die Zeitentwicklung direkt spezifizieren, indem wir spezifizieren$T$. Dann,$T$wird keine einheitliche Zeitentwicklung sein, sondern eine vollkommen positive Landkarte . In der klassischen Mechanik macht man dasselbe: Anstatt den Lagrangian/Hamiltonian des gesamten Systems zu betrachten, den man vielleicht nicht kennt, kann man auch versuchen, nur einen Teil dieses Systems zu betrachten und ihn durch eine Mastergleichung zu beschreiben (dies ist routinemäßig getan in der statistischen Mechanik). Dasselbe kann in der Quantenmechanik geschehen, dh durch die Quanten-Master-Gleichung .

Was ich also argumentieren möchte, ist folgendes:

• Die Verwendung der einheitlichen Zeitentwicklung oder vollständig positiver Karten ist letztendlich (mathematisch) dasselbe.
• Im Labor haben Sie immer Umgebungsgeräusche, sodass Ihr System niemals geschlossen wird.
• Einheitliche Zeitentwicklungen sind ungeschickt, weil Sie die Umgebung vollständig spezifizieren müssen, was schwierig oder fast unmöglich sein kann, daher ist es viel schöner, nur mit dem offenen System zu arbeiten.
• Die Definition einer vollständig positiven Karte ermöglicht dies. Daher ist es im physikalischen Sinne ein „besseres“ Postulat, da es Schlüsselprobleme bei der Anwendung des Modells in Ihrem Labor beseitigt.

Messungen in offenen Quantensystemen

Im Wesentlichen müssen wir jetzt für Messungen genau dasselbe tun, was wir für die einheitliche Zeitentwicklung getan haben. Wie sehen Messungen aus, wenn man sie auf ein Teilsystem einschränkt?

_{[Eine kleine Randbemerkung: Lassen Sie uns eine weitere Komplikation hinzufügen: Messungen sind nicht wirklich augenblicklich, einige von ihnen brauchen Zeit. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie haben ein Atom mit drei Zuständen mit unterschiedlichen Energien, von denen einer sehr angeregt ist$E_3$und zwei weniger angeregte Zustände (einer könnte der Grundzustand sein, nennen wir sie$E_1$und$E_2$). Sie wissen also, dass sich Ihr System in einem der letzten Zustände befinden wird. Wenn Sie messen, welche davon, können Sie einen Laser mit einer der beiden Übergangsenergien in den angeregten Zustand strahlen lassen, sagen wir, die Laserenergie ist$E_3-E_1$. Wenn Sie eine induzierte Emission erhalten, war Ihr System in Betrieb$E_1$, wenn nicht, muss es drin sein$E_2$. Dies braucht natürlich Zeit, also wird sich das System weiterentwickeln (und es wird keine freie Evolution sein, weil der Laser etwas tut), also ist eine einfache Messung nicht nur eine projektive Messung, aber wir können sie kaum jemals vollständig davon trennen irgendwann Entwicklung. Oft ist dies kein Problem, manchmal könnte es sein.]}

Was passiert, wenn wir das tun? Wie sieht die Messung an Subsystemen aus? Nun, es stellt sich heraus, dass POVMs die Einschränkungen von Messungen sind, ebenso wie vollständig positive Karten die Einschränkungen der einheitlichen Zeitentwicklung sind.

Sie können dies auch aus dem Dilatationssatz von Naimark ersehen : Dieser Satz sagt uns im Grunde, dass jede POVM letztendlich eine projektive Messung ist, wenn wir eine Umgebung berücksichtigen. In diesem Sinne sind der POVM-Ansatz und die üblichen projektiven Messungen also mathematisch gleichwertig, wenn man immer die Umgebung + vielleicht eine zusätzliche einheitliche Evolution berücksichtigt. Wir haben jedoch das gleiche wie oben:

Der Formalismus von POVMs ist besser geeignet, um damit zu arbeiten, da er nicht erfordert, dass wir die Umgebung tatsächlich kennen oder auch nur an sie denken. Wir können unsere Messoperatoren aus dem Experiment holen und müssen uns keine Sorgen machen, ob es sich um Projektionen handelt oder nicht (im letzteren Fall ist das System sicherlich nicht geschlossen)

Der POVM-Formalismus gibt uns also formal und mathematisch nichts Neues, aber er ist eine bessere Möglichkeit, über tatsächliche Quantensysteme nachzudenken, die normalerweise keine geschlossenen Systeme sind.

Allgemeine Messungen und ein neues Postulat

Jetzt haben wir POVMs. Wir könnten unser Postulat durch das POVM-Postulat ersetzen, das die Ergebnisse von Experimenten sehr gut abdecken würde. Warum tun wir es also nicht? Warum machen es Nielsen & Chuang nicht?

Denn wir haben tatsächlich etwas verloren: Der POVM wurde eigentlich nur eingeführt, um Ergebniswahrscheinlichkeiten zu berechnen, aber wenn wir mit einem POVM beginnen, ist es nicht klar, wie wir einen Zustand nach der Messung erhalten. Sehr oft ist es uns egal, aber manchmal tun wir es, also sollten wir noch einmal darüber nachdenken (zum Beispiel, wenn wir über "den optimalen Weg zur Unterscheidung einer Reihe von Quantenzuständen" nachdenken, kümmern wir uns im Moment nicht darum Zustand nach der Messung, also sind POVMs alles, was wir brauchen).

Dieses "Problem" des Zustands nach der Messung kann auf verschiedene Arten angegangen werden, eine Möglichkeit besteht darin, ein POVM mit Wirkungsoperatoren zu nehmen$E_i$, geben Sie eine Quadratwurzel an$M_i^*M=E$und definieren Sie eine allgemeine Messung (die zusätzlich zu der Tatsache, dass für jede verallgemeinerte Messung$\{M_m\}_m$,$E_m:=M^*M$definiert ein POVM sagt Ihnen, dass der Formalismus von POVMs und allgemeinen Messungen mathematisch äquivalent ist ). Nun, Quadratwurzeln sind nicht eindeutig, also müssen Sie, um über den Status nach der Messung zu sprechen, auf Experimente verweisen (oder die Umgebung angeben und die Messung dort definieren, wodurch Sie eine eindeutige projektive Messung am geschlossenen Wert erhalten System).

_{[Wenn Sie noch eine andere Möglichkeit haben möchten, darüber nachzudenken, können Sie noch einen anderen Formalismus auswählen, Quanteninstrumente, die im Wesentlichen dasselbe tun.]}

Am Ende ersetzen wir also unser altes (geschlossenes System) Postulat durch das allgemeine (offenes System) Postulat:

Messpostulat (Nielsen&Chuang):

Messungen werden durch eine Sammlung von Messoperatoren beschrieben$\{M\}_m$das sind nicht unbedingt Projektionen, sondern erfüllen$\sum_m M^*_mM_m=\mathbf{1}$. Der Zustand nach der Messung bei der Messung von$m$ist der Zustand nach Anwendung von$M_m$.

Nach dem, was ich oben argumentiert habe, sollte es nicht überraschen, dass die beiden Postulate mathematisch äquivalent sind. Genauer gesagt, wenn wir POVMs/allgemeine Messungen durch einheitliche Zeitentwicklung und die Einführung von Umgebungssystemen erweitern, sollte jede solche Messung wirklich aus einer projektiven Messung stammen. Das war mein ursprünglicher Beitrag:

Beweisskizze der Äquivalenz der beiden Postulate

Dies ist auf den Seiten 94 bis 95 in Nielsen & Chuang beschrieben:

Lassen$\{M\}_m$ein "allgemeines Maß" mit sein$m=1,\ldots,n$auf einem Hilbertraum$\mathcal{H}$. Definieren$U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$(dh$U$ist ein beschränkter Operator auf dem zusammengesetzten System) durch Definieren von:

$$U|\psi\rangle|0\rangle= \sum_{m=1}^n (M_m|\psi\rangle)|m\rangle$$

wo$|m\rangle$ist die Standardorthonormalbasis von$\mathbb{C}^n$. Dann kannst du das zeigen$U$kann zu einem einheitlichen Betrieb erweitert werden$U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$.

Nun definieren Sie die projektive Messung$P$mit Projektionen

$$P_m:=\mathbf{1}_{\mathcal{H}}\otimes |m\rangle\langle m|$$

und was Sie zeigen können, ist diese erste Aufführung$U$und dann Messen der projektiven Messung$P$und Verfolgen des Systems$\mathbb{C}^n$("Vergessen" des Systems) ist gleichbedeutend mit der Durchführung der verallgemeinerten Messung$M_m$. Insbesondere:

$$\frac{P_m U|\psi\rangle |0\rangle}{\sqrt{\langle \psi|\langle 0|U^*P_mU|\psi\rangle|0\rangle}}= \frac{(M_m|\psi\rangle)|m\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_m^*M_m|\psi\rangle}}$$

und die Wahrscheinlichkeiten addieren sich auch. Allgemeine Messungen fügen also nichts Neues hinzu.

Über geschlossene (Quanten-)Systeme:

Wir haben natürlich die Umgebung konstruiert . Wer sagt uns, dass dies die "reale" physikalische Umgebung ist oder dass die Messung im realen geschlossenen System eigentlich auch projektiv ist? Eigentlich niemand. Dies ist eine weitere Annahme, die ich implizit gemacht habe. Ich glaube jedoch, dass dieses System ein weiteres tieferes Problem hat: Was ist eigentlich ein geschlossenes Quantensystem, wenn man es von der experimentellen/operativen Seite her betrachtet? Wenn wir (vielleicht) nicht das gesamte Universum betrachten, können wir eigentlich nie mit einem vollständig geschlossenen System arbeiten – und wir können nicht das gesamte Universum betrachten. Ich glaube, dass es tatsächlich Argumente gibt (höhere Ebene / Quantengrundlagen), die uns sagen, dass die Postulate völlig gleichwertig sind, wenn es ein geschlossenes Quantensystem gibt, aber das ist philosophisch.

Damit haben wir aber etwas "Neues" hinzugefügt: Wir haben die Notwendigkeit geschlossener Systeme abgeschafft (wenn wir auch alle anderen Axiome ersetzen).

Gelernte Lektionen: (tl;dr)

Also, was ist die Essenz? Ich habe argumentiert, dass verallgemeinerte Messungen nichts Neues sind, weder physikalisch noch mathematisch, wenn wir den Unterschied zwischen offenen und geschlossenen Quantensystemen kennen. Daher fügen sie nichts hinzu, was Sie nicht schon aus dem alten Formalismus erhalten haben, damit Ihr Quantenmechanik-101-Kurs nicht falsch ist (abgesehen von Problemen mit der Definition von "geschlossenen Quantensystemen").

POVMs (oder vielleicht allgemeine Messungen) sind jedoch die "richtige" Art, über Messungen nachzudenken. Das Paradigma offener Quantensysteme, das für reale Experimente sehr wichtig ist, ist inhärent in POVMs eingeschrieben und sie sagen uns auch, warum Messungen im Labor manchmal nicht wiederholbar erscheinen. POVMs sind also kein theoretisches Konstrukt, das im philosophischen Raum schwebt (geschlossene Quantensysteme), sondern eher operative Beschreibungen von Messungen. Darüber hinaus ist es besser, mit ihnen zu arbeiten, wenn Situationen aus der realen Welt beschrieben werden.

Als letzte Anmerkung: Allgemeine Messungen werden in der Literatur nicht stark berücksichtigt. Peter Shor war so freundlich, auf ein (altes) Beispiel ihrer Verwendung mit diesem Papier von Peres, Wooters (Paywall!) hinzuweisen. Normalerweise finde ich jedoch, dass die Leute mit POVMs statt mit allgemeinen Messungen arbeiten.