Gibt es eine Möglichkeit, diese Observable im QM zu messen?

Ein Quantensystem sei durch den Hilbert-Raum beschrieben H und lass | ψ ⟩ willkürlicher Zustand sein. Definieren Sie den Operator

P = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

Das ist hermitesch. Es hat zwei Eigenwerte: 0 Und 1 mit zwei Eigenräumen. Der 1 Eigenraum ist der Unterraum, der von aufgespannt wird | ψ ⟩ , mit anderen Worten

H 1 = { λ | ψ ⟩ : λ ∈ C }

während der Null entsprechende Eigenraum sein orthogonales Komplement ist H 2 = H 1 ⊥ .

Da dies eine beobachtbare ist, würde man erwarten, dass sie gemessen werden könnte . Aber wie physikalisch kann eine solche Messung durchgeführt werden?

Der Punkt ist, dass P entspricht nicht direkt einer physikalischen Größe wie Impuls, Energie oder Drehimpuls, die ein Experimentator von einem Verfahren zur Messung im Labor kennen würde.

Der Punkt ist, dass wenn A ist eine physikalische Größe mit Eigenräumen H λ den Werten entsprechen λ ∈ σ ( A ) die Postulate der Quantenmechanik erlauben es uns zu sagen "Nun, der Zustand des Systems liegt in H λ „Wenn wir messen A wir bekommen λ .

Dies erlaubt uns insbesondere, ein System in jedem Eigenzustand jeder physikalischen Größe, die wir messen können, herzustellen. Aber die Vorbereitung auf willkürliche Zustände ist für mich immer noch etwas seltsam.

Beim Messen natürlich P möglich ist, ein Maß von P Wert erbringen 1 würde ein System im Staat vorbereiten | ψ ⟩ .

Gibt es also einen "allgemeinen Weg", um diese Observable zu messen?

Warum denken Sie, dass, nur weil Sie einen Operator mit Eigenwerten definiert haben, bedeutet, dass diese Eigenwerte etwas sein müssen, das physikalisch gemessen werden kann? Wir wissen, dass klassische Größen wie Ort oder Impuls entsprechende Operatoren in der QM haben, aber das Gegenteil gilt nicht unbedingt. Wir können nicht einfach einen Operator machen und sagen, dass er physikalisch messbar sein muss.
Im Prinzip kann man den Erwartungswert jedes Operators messen, nicht nur hermitescher. In der Praxis kann es jedoch schwierig sein (wie viele andere Dinge).

Antworten (4)

Angesichts einer Beschreibung von | ψ ⟩ , gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder wissen Sie, wie man einen unitären Operator anwendet U , das einen standardisierten Basiszustand abbildet, den Sie, sagen wir, messen können | 0 ⟩ , dazu oder nicht. In beiden Fällen ist dieser unitäre Operator U existiert; Nehmen wir also an, Sie kennen es auch. Ich sollte auch erwähnen, dass dies in Bezug auf die Rechenkomplexität für den allgemeinen Fall ein schwieriges Problem ist.

Vorausgesetzt, Sie wissen es U , dann können Sie sich bewerben U † an Ihren Betreiber:

Q = U † P U   .
Und dann können Sie eine Messung in der Standardbasis durchführen.

Nehmen wir als Randbemerkung an, dass Sie in Ihrem Labor oder Quantencomputer nur eine Reihe begrenzter Standardgatter anwenden können: { U 1 , U 2 , ⋯ , U N } ∈ G . Wenn G universell ist, ist garantiert, dass Sie jeden unitären Operator mit der gewünschten Genauigkeit mit seinen Operatoren approximieren können.

Würde es dem Downvoter etwas ausmachen, seine Gedanken darüber zu teilen, was seiner Meinung nach in meiner Antwort falsch ist oder fehlt?

Ein Messverfahren ist nur ein einheitlicher Operator, der auf das Tensorprodukt des Systems und des experimentellen Geräts einwirkt, das die beiden so weit wie möglich verschränkt. In der Projektor-Observable, von der wir sprechen, ist das Ergebnis der Messung entweder 0 oder 1, sodass das Gerät aus einem einzelnen Qubit mit „klassischen“ Zuständen bestehen kann | 0 ⟩ Und | 1 ⟩ die auf dem Bildschirm unseres Geräts erscheinen, wenn wir den "großen roten Knopf" drücken.

Der Hamiltonian kann so ziemlich alles sein, es ist eine Frage der Technik. Wir werden es nach einiger Zeit so wählen T , es induziert die einheitliche Evolution

U = ( 1 − P ) ⊗ ( | 0 ⟩ ⟨ X | + | X ⟩ ⟨ 0 | ) + P ⊗ ( | 1 ⟩ ⟨ X | + | X ⟩ ⟨ 1 | ) ,
Wo | X ⟩ ist der Ausgangszustand des Messgerätes, ein Zustand, den wir unserem Gerät durch Drücken der „Reset“-Taste zuverlässig vorbereiten können. Das kann man überprüfen U ist einheitlich. Der Hamiltonoperator, der diesen Operator nach der Zeit erzeugt T Ist H = − ich ℏ Protokoll ⁡ U / T .

Um die Messung vorzunehmen, bereiten wir unser Gerät im Stand vor | X ⟩ durch Drücken der Reset-Taste. Dann bringen wir es in Kontakt mit dem unbekannten Zustand | ψ 0 ⟩ für die Zeit T , wonach sich der kombinierte Zustand zu entwickelt hat

U ( | ψ 0 ⟩ ⊗ | X ⟩ ) = ( 1 − P ) | ψ 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ + P | ψ 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ .
Dann drücken wir den großen roten Knopf und jetzt liest die Maschine entweder 0 und der Zustand ist ( 1 − P ) | ψ 0 ⟩ (was uns nicht viel sagt) oder die Maschine liest 1 und der Zustand ist P | ψ 0 ⟩ ∼ | ψ ⟩ , die uns alles über das System verrät.

Sie können sich dies als Zustandsvorbereitungsmaschine für vorstellen | ψ ⟩ die 0 anzeigt, wenn nicht erfolgreich, und 1, wenn erfolgreich. Die Anzahl der zur Implementierung verwendeten Komponenten U und wie oft Sie den großen roten Knopf drücken müssen, sind Maße für die Quantenkomplexität des Zustands | ψ ⟩ .

Ich empfehle die Notizen von John Preskill (pdf) , um (viel, viel) mehr zu lernen.

Das verwirrt mich. Welchen Zustand verwenden wir, um den Projektionsoperator zu definieren? Außerdem sind dieses Beispiel und eine "Zustandsvorbereitungsmaschine, die 0 anzeigt, wenn sie nicht erfolgreich ist" zwei verschiedene Dinge. Sie können einen Zustand haben, der keiner ist ψ aber es kann immer noch einen Vorsprung haben ψ
P = | ψ ⟩ ⟨ ψ | und der Anfangszustand ist | ψ 0 ⟩ . Sobald die Messung durchgeführt wurde und das Ergebnis 1 ist, dann ist der Zustand P | ψ 0 ⟩ ∼ | ψ ⟩ , wie ich sagte. Das ist der übliche "Kollaps der Wellenfunktion", von dem die Leute reden. Messung und Zustandsvorbereitung sind dasselbe, wenn Sie darüber nachdenken.

Nehmen wir an, das System befindet sich in einem Zustand | ϕ ⟩ , und Sie möchten diesen Operator messen P = | ψ ⟩ ⟨ ψ | , dh,

⟨ ϕ | P | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ϕ ⟩ = | ⟨ ϕ | ψ ⟩ | 2   .
Was Sie also messen müssen, ist die Überlappung der beiden Zustände. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu tun, aber der "kanonische" Weg wäre, dass Sie sich vorbereiten | ψ ⟩ (zusätzlich zu | ϕ ⟩ , das ist die Eingabe für Ihr Messschema) und lassen Sie sie dann interferieren. Der Grad der Interferenz, den Sie sehen (wenn Sie das Experiment viele Male durchführen), wird genau dem entsprechen
| ⟨ ϕ | ψ ⟩ | 2 = ⟨ ϕ | P | ϕ ⟩   .
(Formeller gibt es in Quantum Information das Konzept eines "Swap-Tests", mit dem Sie diese Überlappung messen können.)

Danke für deine Antwort @NorbertSchuch. Nun, was mich wirklich stört, ist, wie man bei der Vorbereitung vorgehen würde | ψ ⟩ . Der Grund ist: in einem Spin 1/2 System, um den Zustand herzustellen | ↑ ⟩ man würde genau messen S z . Wenn jetzt | ψ ⟩ entspricht keiner einfachen physikalischen Größe, wie lässt sie sich aufbereiten? Wenn dies für einen Beitrag hier zu kompliziert ist, wären Hinweise zu diesem Thema willkommen. Danke!
@ user1620696 Das ist ein guter Punkt. Aber Sie stimmen zu, dass es für jeden Zustand, den Sie aufschreiben können, ein Vorbereitungsverfahren geben sollte? Warum werfen wir ansonsten nicht alle Zustände, die wir nicht präparieren können, aus der Quantentheorie heraus, was es viel einfacher machen würde (da alles, was wir zum Beispiel brauchen, Eigenzustände zu positionieren, um die gesamte Quantenphysik zu beschreiben)?
Ich stimme in dem Sinne zu, dass es mir intuitiv erscheint, dass alle Zustände durch eine geeignete Zeitentwicklung erreichbar sein sollten . Mit anderen Worten, für mich scheint es intuitiv offensichtlich, dass es willkürlich ist | ψ ⟩ Es gibt | ψ 0 ⟩ ein Eigenzustand einer einfachen physikalischen Größe und ein Hamiltonoperator H so dass wenn U ( T ) ist die entsprechende Zeitentwicklung, die es gibt T 0 so dass U ( T 0 ) | ψ 0 ⟩ = | ψ ⟩ . Obwohl ich diese Intuition habe, bin ich mir nicht sicher, ob dies rigoros wahr ist.
@ user1620696 Dies ist eine zentrale Frage in der Quanteninformation: Welcher Satz von Hamiltonianern oder Einheitseinheiten ist universell , dh erlaubt uns, beliebige Einheitseinheiten zu konstruieren, und wie wir eine solche Einheitseinheit bei gegebener universeller Menge tatsächlich konstruieren (oder gut approximieren).

Gegeben | ψ ⟩ , Sie können immer eine Maschine machen, die so viele Kopien produziert | ψ ⟩ ⟨ ψ | reine Zustände nach Bedarf. Durch Messen der Zustandskopien würden Sie den Wert-Eigenraum messen λ = 1 für Ihr Observable

Messung des Eigenraums von λ = 0 ist weniger einfach, da es erforderlich ist, den viel größeren Unterraum von Zuständen orthogonal zu Ihrem zu bestimmen | ψ ⟩

Das obige Verfahren kann solange durchgeführt werden | ψ ⟩ ist bekannt. Das No-Cloning-Theorem würde Ihnen verbieten, über der Maschine zu bauen, wenn Sie nicht genügend Informationen darüber haben, und alles, was Sie haben, ist eine physikalische Instanz des Quantenzustands

Danke für die Antwort! Der Punkt ist also, wenn wir es wissen | ψ ⟩ Wir können tatsächlich eine Maschine bauen, die Kopien dieses Zustands produziert. Könnten Sie jetzt näher darauf eingehen, wie das gemacht werden würde, oder, wenn es zu kompliziert ist, eine Referenz angeben, die sich weiter ausdehnt? Außerdem, wie würde man "die Zustandskopien messen"? Denn meiner naiven Ansicht nach scheint es, dass wir nur physikalische Größen wie Energie, Impuls, Drehimpuls usw. messen können. Aber ich vermisse hier wahrscheinlich eindeutig etwas ganz Grundlegendes. Danke noch einmal!
Was meinst du mit "Zustandskopien messen"?
Wie erklärt dies, wie man den Erwartungswert misst P auf einem willkürlichen Zustand | ϕ ⟩ ?
Gibt es eine Möglichkeit, diese Observable im QM zu messen?
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