Kohärente Zustände des harmonischen Quantum-Oszillators

Eine gute Art zu denken$\lambda$ist, den kohärenten Zustand als verschobenen harmonischen Oszillator-Grundzustand zu betrachten . Schreiben$\lambda=\lambda_r+i\lambda_i$mit$\lambda_{r,i}$die Real- und Imaginärteile von$\lambda$bzw,

$$\langle\lambda \vert \hat x\vert \lambda \rangle=\sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\lambda_r\, ,\qquad \langle\lambda \vert \hat p\vert \lambda \rangle=\sqrt{ 2m\hbar\omega}\lambda_i\, .$$ Deutlich die möglichen Verschiebungen in der $(x,p)$plane sind unbegrenzt, daher gibt es keine Einschränkung für die möglichen Werte von $\lambda_r$Und $\lambda_i$.

Da der Grundzustand des harmonischen Oszillators eine Gaußsche Form hat, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in$x$konzentriert sich nicht auf die Herkunft, sondern auf$\lambda_r$, und die Wahrscheinlichkeit in$p$ist konzentriert$\lambda_i$. Dies wird deutlich, wenn man sich die Wigner-Funktion eines kohärenten Zustands ansieht . Daher das Abschneiden der Basis von harmonischen Oszillatorzuständen$\{\vert n\rangle\}$wird in der Regel aus physikalischen Gründen nach einem Wert von durchgeführt$n$ausreichend groß, um "das meiste" der Wahrscheinlichkeitsdichte zu erfassen.

Beachten Sie, dass der kohärente Zustand kein Eigenzustand des Hamiltonschen harmonischen Oszillators ist, sodass seine Wahrscheinlichkeitsdichte zeitabhängig ist.

1. Mit den Zahlenbasiskoeffizienten, wie Sie sie (richtig) definiert haben,$|\lambda⟩$ist ein Eigenzustand von$a$für alle komplexwertigen$\lambda\in\mathbb C$. Das kann seltsam klingen, aber denken Sie daran, dass der Vernichtungsoperator nicht selbstadjungiert und nicht normal ist , sodass die spektralen Eigenschaften aus einer viel größeren Menge von Möglichkeiten stammen können als beispielsweise ein kompakter selbstadjungierter Operator.

2. Im$N$Darstellung, der Vernichtungsoperator nimmt die Form der unendlichen Matrix an, die Sie angeben. Wenn Sie es abschneiden, erhalten Sie ein interessantes und verwandtes Objekt, aber es ist nicht mehr dasselbe Objekt.

   Insbesondere die Kürzung zu$N$Photonen oder weniger verwandeln die Vernichtung in einen einzelnen Jordan-Block mit Eigenwert$\lambda=0$; dies bedeutet dann, dass keine anderen Eigenwerte vorhanden sein werden. Dieses Verhalten ist völlig normal und liegt ausschließlich an der Basiskürzung.

Schamloser Stecker: Meine Bachelorarbeit beschäftigt sich intensiver mit diesen Themen - wenn man Physik auf Spanisch lesen kann ;-).