13.09.2021 Edit: Die ursprüngliche Herleitung war falsch (weil stattBk( w + z, 1 , 0 , … , 0 )
In( ⋆ )
Die QuantitätBk( w + z, 0 , 0 , … , 0 ) = ( w + z)k
erschienen, was falsch ist). Ich habe die Herleitung korrigiert. Ich habe das aktualisierte Ergebnis nicht doppelt überprüft, werde dies jedoch bei Gelegenheit tun.
Ziel ist es, die Menge zu berechnen:
⟨n | _ ( ein +A†)k| m⟩
Es ist bequem, kohärente Zustandstechniken zu verwenden, daher brauchen wir vor allem die Beziehung:
ICH( z, w )≡ ⟨z¯| (ein+A†)k| w⟩=Bk( w + z, 1 , 0 , … , 0 )ew z( ⋆ )
Wo
⟨z¯| =⟨0 |ezA
Und
| w⟩=ewA†| 0⟩
sind kohärente Zustände (mit
ein | w ⟩ = w | w ⟩
Und
⟨z¯|A†= z⟨z¯|
, Und
⟨z¯| w⟩=ew z
), wohingegen
Bk( w + z, 1 , 0 , … , 0 )
ist ein vollständiges Bell-Polynom. Wie üblich normalisieren wir uns
[ ein ,A†] = 1
.
Ableitung von (⋆
): Da habe ich einige Fragen zur Ableitung erhalten( ⋆ )
Lassen Sie mich darauf hinweisen, dass ich die vollständige Bell-Polynomidentität verwendet habe.Bk(A1, … ,AN) =∂kTexp(∑∞s = 11s !ASTS)|t = 0
, und die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel, die sich auf reduzierteX+ Y=eXeYe−12[ X, Y]
, Wenn[ X, Y]
pendelt mitX
UndY
; von letzterem (da die rechte Seite symmetrisch in sein mussX, Y
wie die linke Seite) folgt auch daseXeY=eYeXe[ X, Y]
. Genauer gesagt, unter Verwendung dieser Ergebnisse,
ICH( z, w )≡ ⟨z¯| (ein+A†)k| w⟩=∂kT⟨z¯|e( ein +A†) t| w⟩∣∣t = 0=∂kT⟨z¯|eA†Teein te12[ ein ,A†]T2| w⟩∣∣t = 0=∂kTe( z+ w ) t +12T2∣∣t = 0⟨z¯| w⟩=Bk( w + z, 1 , 0 , … , 0 )ew z
Zurückkehren zu (⋆
), können wir daraus die interessierende Größe extrahieren, indem wir sie bzgl. differenzierenz
Undw
(N
UndM
Mal) und dann einstellenz= w = 0
; nach Einbeziehung relevanter Normalisierungen (vorausgesetzt⟨n | _ m ⟩ =δn , m
):
⟨n | _ ( ein +A†)k| m⟩=1n ! m !−−−−√∂Nz∂MwICH(z, w )∣∣z, w = 0=1n ! m !−−−−√∂Nz∂MwBk( w +z, 1 , 0 , … , 0 )ew z∣∣z= w = 0( ⋆ ⋆ )
Zur Bewertung der Derivate ist vor allem zu beachten,
∂NzICH( z, w )∣∣z= 0=∂NzBk( w + z, 1 , 0 , … , 0 )ew z∣∣z= 0( Allgemeine Leibniz-Regel↓ )=∑a = 0N(NA)∂AzBk( w + z, 1 , 0 , … , 0 )∂n - einzew z∣∣z= 0( kompl. Bell pol. Eigentum↓ )=∑a = 0N(NA)Bk - ein( w , 1 , 0 , … , 0 )wn - ein
Die letzte Gleichheit folgt unmittelbar aus der Reihendarstellung vollständiger Bell-Polynome. Gehen Sie für die restlichen analog vor,
∂Mw
, Derivate findet man,
∂Nz∂MwICH( z, w )∣∣z, w = 0=∂Mw∑a = 0N(NA)Bk - ein( w , 1 , 0 , … , 0 )wn - ein∣∣w = 0=∑a = 0N(NA)∑b = 0M(MB)∂BwBk - ein( w , 1 , 0 , … , 0 )∂m - bwwn - ein∣∣w = 0=∑a = 0Nn ! m !ein ! ( m − n + a ) ! ( n − ein ) !Bk - m + n - 2 a( 0 , 1 , 0 , … , 0 )( † )
Unter Verwendung der Definitionsreihe für vollständige Bell-Polynome kann man das wiederum zeigen für
p ≥ 0
,
B2 p( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) =( 2 P ) !P !,B2 p + 1( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) = 0 ,
und deshalb (
†
) und durch Erweiterung (
⋆ ⋆
) verschwindet, es sei denn, es handelt sich um eine positive ganze Zahl
R
kann so gefunden werden,
k = 2 r + m − n .
Gegeben sei eine beliebige Anzahl von Eigenzuständen, die mit gekennzeichnet sind
M
Und
N
, können wir dies als Bedingung an ansehen
k
. (zB wenn
m = n
dann nur eben
k
trägt bei.)
∂Nz∂MwICH( z, w )∣∣z, w = 0=∑a = 0Nn ! m !ein ! ( m − n + a ) ! ( n − ein ) !B2 ( r − a )( 0 , 1 , 0 , … , 0 )=∑a = 0Nn ! m !ein ! ( m − n + a ) ! ( n − ein ) !( 2 r − 2 a ) !( r − ein ! )
Die Endsumme ist vorbei
A
kann ausgeführt werden; Ich habe Mathematica verwendet. Das Ergebnis kann in Form einer verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion und Gamma-Funktionen geschrieben werden,
∂Nz∂MwICH( z, w )∣∣z, w = 0=m !( m − n ) !22 rΓ ( r +12)Γ (12)ich1F2( -n;1+m-n,12− r ;14)
Ersetzen Sie dies in (⋆ ⋆
), und unter Berücksichtigung, dass fürk ≠ 2 r + m − n
das Ergebnis verschwindet, können wir das Obige wie folgt zusammenfassen:
⟨n | _ ( ein +A†)C+ m − n| m⟩==⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1n ! m !−−−−√m !( m − n ) !2CΓ (C+ 12)Γ (12)ich1F2( -n;1+m-n,1 - C2;14)Wenn C∈ 2Z+= 0Wenn C∈ 2Z++ 1
Sean E. Lake
Schwierigkeit
Sean E. Lake
Wakabaloola