Integral über Skalarprodukt der Eigenfunktion des Impulsoperators und des harmonischen Oszillators eins

Question

Integral über Skalarprodukt der Eigenfunktion des Impulsoperators und des harmonischen Oszillators eins

Benutzer8817

Kürzlich bin ich auf folgenden Ausdruck gestoßen:

\begin{matrix} (2) & \sum_{N} F (N) \int D P | ⟨ P | N ⟩ |^{2} = 2 π \sum_{N} F (N) . \end{matrix}

$\tag 2 \sum_{n}f(n)\int dp~ |\langle p | n\rangle|^{2} = 2\pi \sum_{n}f(n).$ Hier

| n >

$|n>$ ist Eigenfunktion des harmonischen Oszillators mit Energie

E_{N} = ω (N + \frac{1}{2}),

$E_{n} = \omega \left(n + \frac{1}{2} \right),$

| p >

$|p>$ ist Eigenfunktion des Impulsoperators (ohne Normierungskonstante),

| P >= e^{ich P X},

$|p> = e^{ipx},$

⟨ P | P^{'} ⟩ = 2 π δ (P - P^{'}) .

$\langle p|p{'}\rangle = 2\pi \delta (p - p{'}).$

Wie zu beweisen $(2)$ ?

yuggib

(2 π)^{- 1 / 2} ⟨ p, \cdot ⟩

$(2\pi)^{-1/2}\langle p , \cdot\rangle$ ist die Fourier-Transformation an

L^{2}

$L^2$ .

| n ⟩

$\lvert n\rangle$ hat Norm eins an

L^{2}

$L^2$ , und die Fourier-Transformation ist unitär (d. h. bewahrt die

L^{2}

$L^2$ Norm).

Graf Iblis

|<p|n>|^2 = <n|p><p|n> und das Integral über p von |p><p| = 2 pi aufgrund der Art und Weise, wie Sie diese Zustände normalisiert haben, sodass Sie die quadratische Norm von |n> haben, die 1 ist.

Antworten (1)

Integral über Skalarprodukt der Eigenfunktion des Impulsoperators und des harmonischen Oszillators eins

$(2\pi)^{-1/2}\langle p , \cdot\rangle$ ist die Fourier-Transformation an $L^2$ . $\lvert n\rangle$ hat Norm eins an $L^2$ , und die Fourier-Transformation ist unitär (d. h. bewahrt die $L^2$ Norm).
|<p|n>|^2 = <n|p><p|n> und das Integral über p von |p><p| = 2 pi aufgrund der Art und Weise, wie Sie diese Zustände normalisiert haben, sodass Sie die quadratische Norm von |n> haben, die 1 ist.

Jonathan Gleason · Answer 1

\sum_{N} F (N) \int D P | ⟨ P | N ⟩ |^{2} = \sum_{N} F (N) \int D P \int D Q ⟨ N | P ⟩ ⟨ P | N ⟩ = 2 π \sum_{N} F (N) ⟨ N | N ⟩ = 2 π \cdot \sum_{N} F (N),

$\sum _nf(n)\int \mathrm{d}p\, |\left< p|n\right> |^2=\sum _nf(n)\int \mathrm{d}p\int \mathrm{d}q\, \left< n|p\right> \left< p|n\right> =2\pi \sum _nf(n)\left< n|n\right> =2\pi \cdot \sum _nf(n),$ wo ich die Tatsache verwendet habe, dass

\int D P | P ⟩ ⟨ P | = 2 π,

$\int \mathrm{d}p\, \left| p\right> \left< p\right| =2\pi,$ was folgt aus

⟨ P | Q ⟩ = 2 π δ (P - Q) .

$\left< p|q\right> =2\pi \delta (p-q).$

Integral über Skalarprodukt der Eigenfunktion des Impulsoperators und des harmonischen Oszillators eins

Benutzer8817

yuggib

Graf Iblis

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Jonathan Gleason

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