Quantisierung eines Hamiltonoperators

Question

Quantisierung eines Hamiltonoperators

Physik
Hilbert-Raum
Fourier-Transformation
Quantenmechanik
gekoppelte Oszillatoren
harmonischer Oszillator

StarBuck

Meine Frage ist folgende:

Ich studiere eine harmonische 1D-Oszillatorkette.

Mein klassischer Hamiltonian enthält Begriffe wie $U_n$ Wo $U_n=x_n-x_n^0$ , es stellt die Position weg vom Gleichgewicht von my dar $n$ 'tes Atom. Ich rufe $a$ der Abstand meines Gitters (so haben wir $x_n^0=n.a$ )

Durch die Verwendung der diskreten Fourier-Transformation können wir es schreiben als: $U_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}$ ( $N$ ist die Anzahl der Atome auf meinem Gitter).

Ich weiß, wie man quantisiert $U_n$ (Ich wende das Korrespondenzprinzip an, ich weiß, dass ich abgehen werde $U_n$ Zu $\widehat{U_n}$ das ist ein Operator, der auf den Hilbert-Raum wirkt, wie er diagonal in der Positionsbasis ist und hat $x_n-x_n^0$ Eigenwert für ein Ket $|x_n>$ . In der Tat $U_n$ stellt nur eine Position dar, die vom Ursprung "verschoben" ist, damit wir wissen, wie man sie quantisiert.

Aber wie quantisiert man die rechte Seite der Gleichheit? Ich meine, ich hätte einen Operator:

\hat{\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k} U_{k} e^{- ich (k . N . A)}}

$\widehat{\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}}$ (der Hut muss über meinen ganzen Gesichtsausdruck gehen).

Woher wissen, ob $\frac{1}{\sqrt{N}}$ würde zum Beispiel Betreiber werden? In der Tat $N$ ist die Anzahl der Atome auf meinem Gitter, also muss ich es quantisieren?

Ich denke, die Antwort hier ist, dass ich nur quantisieren muss $U_k$ aber ich würde gerne gut verstehen, wie ich wissen kann, was ich quantisieren muss.

[Bearbeiten] : Entscheiden wir uns für die Quantisierung einer physikalischen Größe, wenn wir bei der Berechnung genauer sein wollen? Zum Beispiel die $N$ kann hier quantisiert werden, wenn ich sagen will, dass die Anzahl der Teilchen auf meiner Kette mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gleich einem bestimmten Wert ist? Die Entscheidung, es zu quantisieren oder nicht, ist also nur eine Frage der "Genauigkeit" des Modells?

Antworten (2)

Quantisierung eines Hamiltonoperators

Kostja · Answer 1

Die Beschreibung Ihres physikalischen Systems umfasst notwendigerweise einige Variablen, die die Konfiguration Ihres Systems „kodieren“ – definieren Sie den Konfigurationsraum . Diese werden üblicherweise als " verallgemeinerte Koordinaten " bezeichnet. In Ihrem Fall können Sie wählen $q_n=x_n$ oder $q_n=U_n$ oder auch $q_n={\cal F}[U_n]$ als Satz verallgemeinerter Koordinaten, da jede von ihnen die Konfiguration Ihres Systems eindeutig definiert.

Unter Verwendung der verallgemeinerten Koordinaten definieren Sie dann die Dynamik Ihres Systems, indem Sie seine Lagrange-Funktion angeben ${\cal L}(q_n, \dot{q}_n, t)$ . Daraus können Sie die verallgemeinerten Impulse erhalten und ihren Hamilton-Operator ableiten:

P_{N} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{N}}

$p_n = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q}_n}$

H (P_{N}, Q_{N}, T) = (\sum_{N} {\dot{Q}}_{N} P_{N}) - L (Q_{N}, {\dot{Q}}_{N}, T)

${\cal H}(p_n, q_n,t) = \left(\sum_n \dot{q}_n p_n \right) - {\cal L}(q_n, \dot{q}_n, t)$

Quantisierung (na ja, es wird eigentlich " die kanonische Quantisierung " genannt) ist ein Verfahren, bei dem die verallgemeinerten Koordinaten genommen werden $q_n$ und verallgemeinerte Impulse $p_n$ und sagen, dass sie jetzt Betreiber sind. Mit Kommutierungsbeziehungen:

[{\hat{Q}}_{ich}, {\hat{P}}_{J}] = ich ℏ δ_{ich, J}

$[\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{i,j}$

Gehen wir nun Ihre Fragen durch:

Sollen $N$ Operator sein?

Nein, da, $N$ ist kein Teil Ihres Konfigurationsbereichs.

Entscheiden wir uns für die Quantisierung einer physikalischen Größe, wenn wir genauer in der Berechnung sein wollen?

N-nein... Zunächst einmal quantisieren wir Mengen nicht. Wir quantisieren die Beschreibung des Systems. Und wir tun es, wenn Werte von $q_n$ Und $p_n$ sind klein genug für $[\hat{q}_n, \hat{p}_n] = i\hbar$ etwas zu sein, das wir nicht vernachlässigen können.

Zum Beispiel kann das "N" hier quantisiert werden, wenn ich sagen möchte, dass die Anzahl der Teilchen auf meiner Kette mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gleich einem bestimmten Wert ist ?

Nicht wirklich. Sie können überlegen $N$ eine Zufallsvariable sein. Sie können darüber mitteln oder was auch immer. Das wird wie statistische Mechanik sein . Nichts unbedingt Quanten dort.

Die Entscheidung, es zu quantisieren oder nicht, ist also nur eine Frage der "Genauigkeit" des Modells?

In einem Sinn. Klassische Beschreibung der Welt ist die Annäherung, wenn wir darüber nachdenken $\hbar$ für uns zu klein sein, um eine sichtbare Wirkung zu haben. Wenn diese Annäherung nicht gültig ist, müssen wir die "genaue" Beschreibung der Realität verwenden, wo $q_n$ Und $p_n$ sind nicht pendelnde Operatoren.

Was ich nicht ganz verstehe ist folgendes. Ich habe : $U_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}$ Wie kann ich das wissen $U_k$ wird hier Betreiber? Denn wenn ich dem folge, was Sie gesagt haben, muss ich meine verallgemeinerten Koordinaten in Operatoren ändern. Aber hier habe ich eine Fourier-Transformation, also wie kann ich sie mit den verallgemeinerten Koordinaten verknüpfen? Das muss ich ausnutzen $U_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} U_n e^{+i(k.n.a)}$ , es kommt also darauf an $x_n$ : es muss in Operator umgewandelt werden ?
Jeder Satz von Werten, die eine Konfiguration Ihres Systems eindeutig definieren, kann als verallgemeinerte Koordinaten dienen. Die Werte der Fourier-Transformation von $U_n$ eine Konfiguration Ihres Systems eindeutig definieren. Also die Fourier-Transformation von $U_n$ können als verallgemeinerte Koordinaten dienen.

Gregor Petersen · Answer 2

Ich stimme Kostyas Antwort zu, würde aber einen alternativen Weg vorschlagen, um zu Ihrer Quantifizierung zu gelangen. Bei diesen Arten von Systemen kann die Quantisierung von Randbedingungen abgeleitet werden, die dem System auferlegt werden. In diesem Fall würden Sie eine endliche Schleife von N-Atomen nehmen. Damit ergibt sich die Randbedingung

$U_n = U_{n + N}$

oder

$\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k U_k e^{-kna} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k U_k e^{-i(kna + kNa)}$

das gilt nur wann $kNa = 2m\pi$

implizieren das

$k = \frac{2m\pi}{Na}$

Wo $m$ ist eine ganze Zahl. Dies wiederum ist Ihre Quantisierung für das System. Wenn Sie mit einem unendlichen System arbeiten, nehmen Sie $N \to \infty$ und komme zu einem stetigen k.

Sie können dieses Argument auch auf andere Randbedingungen anwenden und es wird die Art der Diskretisierung für endliche Systeme ändern. Die Kontinuumsgrenze bleibt jedoch gleich.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Tatsächlich interessiert mich sehr, was Sie gesagt haben: "Quantisierung kann aus dem System auferlegten Randbedingungen abgeleitet werden". Ich habe den Zusammenhang zwischen dem Anwenden von Randbedingungen (und dann haben wir eine Menge möglicher k, wie Sie geschrieben haben) und der „Quantenquantisierung“ nie wirklich verstanden, bei der wir die Konfigurationsvariablen „q“ und „p“ durch ihre entsprechenden Operatoren ersetzen . Was ich meine ist, dass wir beide Dinge Quantisierung nennen, aber für mich sind diese beiden Dinge sehr unterschiedlich. Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Anwenden von BC auf Wellenvektoren und dem Ändern von (q, p) in Observables?
Ja, die Randbedingungen begrenzen die möglichen Lösungen für Ihre Gleichung, können aber auch, wie Kostya betonte, in Ihren Konfigurationsraum eingeführt werden. Sie können entweder mit einer kontinuierlichen Variablen beginnen und mit einer quantisierten reziproken Variablen enden, wie im Fall des Quantentopfs, wo die harten Wandgrenzen die Energie quantisieren, oder Sie können mit einem diskretisierten System wie oben beginnen und entweder zu einem kontinuierlichen kommen oder diskrete reziproke Variable in Abhängigkeit von Randbedingungen.

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