Hamiltonoperator des harmonischen Quantenoszillators mit ψ(x)=δ(x)ψ(x)=δ(x)\psi(x)=\delta(x): Vergleich zur klassischen Mechanik

Die klassischsten Zustände des harmonischen Oszillators sind kohärente Zustände des harmonischen Oszillators , nicht$\delta(x)$. Der Grund dafür ist, dass der kohärente Zustand eine ausgewogene Unsicherheit von Koordinaten und Impuls hat:

In einem Zustand mit$\phi(x)=\delta(x)$die Impulsunsicherheit$\Delta p=\infty$, sie strebt nicht gegen Null.

AKTUALISIEREN:

Es ist nicht richtig anzunehmen, dass ein Teilchen mit hoher Energie immer durch die klassische Mechanik beschrieben werden kann. Betrachten wir zum Beispiel zwei Zustände$|\psi_1\rangle$Und$|\psi_2\rangle$, in dem Teilchen eine hohe Energie hat. Jede Überlagerung von ihnen ist ein gültiger Zustand in der Quantenmechanik, aber in der klassischen Mechanik nicht sinnvoll.

Ihre Versuche, eine klassische Grenze zu nehmen, sind nicht wirklich sinnvoll. Aufgrund der Natur der klassischen Mechanik gibt es außerhalb der statistischen Mechanik so etwas wie eine "Positionsverteilung" eines klassischen Systems nicht. Ein klassisches System hat immer einen bestimmten Ort und Impuls, also wären seine Orts- und Impuls-„Verteilungen“.$\delta(x)$Und$\delta(p)$, bzw. Das gilt völlig unabhängig vom spezifischen Zustand des klassischen Systems oder einer anderen Eigenschaft des Systems, daher ist es kein sinnvoller Ansatz, darüber nachzudenken, welches Quantensystem diesem entspricht.

Ihre Identifizierung der klassischen Mechanik als Hochenergiegrenze der Quantenmechanik ist falsch. Ich kann eine Reihe von Beispielen nennen. Betrachten Sie den Zustand des hochenergetischen harmonischen Oszillators (Fock/Zahl).

Der$1000^{th}$Energieeigenzustand des harmonischen Oszillators. Die Bewegungsamplitude ist gut definiert, die Phase jedoch völlig undefiniert. Der Oszillator kann an jeder Position und mit jedem Impuls erscheinen, der damit übereinstimmt$X^2 + P^2 = 1000$(in den entsprechenden Einheiten).

Betrachten Sie auch den Katzenzustand

Wobei dies eine Überlagerung von zwei hochenergetischen kohärenten Zuständen ist. In diesem Fall befindet sich das System in einer makroskopischen Überlagerung zweier Zustände, was höchst unklassisch ist.

Dies sind zwei Beispiele für Quantenzustände, die hochenergetisch, aber nicht klassisch sind.

Ich denke, es ist wahrscheinlich wahr, dass allgemein energiearme Quantenzustände (Zustände nahe dem Grundzustand) immer nicht klassisch sein werden. Daher kann eine hohe Energie eine notwendige Bedingung dafür sein, dass ein Zustand klassisch aussieht, aber es ist sicherlich keine hinreichende Bedingung.

Der Staat, den Sie in Betracht ziehen, ist$\langle x|\psi \rangle = \psi(x) = \delta(x)$. Es ist falsch zu sagen, dass dieser Zustand eine hohe Energie hat. Es ist kein Energie-Eigenzustand und, wie man anhand einer Fourier-Transformation erkennen kann, eine Überlagerung von Zuständen mit allen möglichen Energien. Das heißt, es hat niedrige Energie- und hohe Energiebeiträge. Es hat Energie auf allen Ebenen! Dies ist einer der Gründe, warum es ein höchst unklassischer Zustand ist. Ich möchte hier nur hinzufügen, dass der Grund, warum dieser Zustand unphysisch ist, darin besteht, dass dieser Zustand unendliche Energie zur Vorbereitung erfordert und diese nicht verfügbar ist. Allerdings könnte man einen Zustand herstellen, der alle Energieniveaus bis hin zur Energie gleichmäßig besetzt hat$E_0$. In diesem Fall wäre die Wellenfunktion eine schmale Funktion, die sich einem Dirac-Delta nähert. Es hätte Breite proportional zu$\frac{1}{E_0}$Je höher die Energie, die Sie erreichen können, desto näher können Sie sich dem annähern$\delta$Funktion.

Nun die Frage nach einer klassischen Dirac-Delta-Funktion. Ja, ein klassisches System in JEDEM deterministischen Zustand (ohne thermische/stochastische Zustände) wird im Phasenraum als Dirac-Delta angezeigt. Es wird sowohl eine gut definierte Position als auch ein Momentum haben. Man sieht, dass die Energie berechnet werden kann$E = X^2 + P^2$(wieder mit einigen Skalierungen) und wichtig, dass die Energie wohldefiniert und endlich ist.

Der große Unterschied besteht darin, dass es quantenmechanisch unmöglich ist, eine Delta-Funktion in Ort und Impuls zu haben. Es ist einfach kein gültiger Zustand innerhalb des Hilbert-Raums. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass Position und Impuls Fourier-Transformationspaare sind und die Dirac-Delta-Funktion nicht ihre eigene Fourier-Transformation ist. Dies ist die Hauptaussage der Wellenfunktionsversion der Unschärferelation.

Noch anders gesagt, der Grundzustand des klassischen Oszillators hat$X=0$Und$P=0$. Es bewegt sich nicht. Es hat keine Energie. Ein Quantenoszillator mit$\psi(x) = \delta(x)$hat$X=0$aber es hat ALLE möglichen Impulse. Das heißt, er bewegt sich gleichzeitig nicht (analog zum klassischen Oszillator) und unendlich schnell in alle Richtungen. Dies unterscheidet sich stark vom klassischen Oszillator.

Ich sage hier viel und ich habe das Gefühl, mich zu wiederholen, also wäre es vielleicht am besten, wenn Sie klärende Fragen stellen würden.

Die Antwortsätze von Emilio Pisanty$\hbar = 1$, die einige Feinheiten bezüglich der klassischen Grenze verbirgt. Mit explizit$\hbar$, die Fourier-Transformation enthält$e^{i px/\hbar}$, was es schwierig macht, die Bedeutung der klassischen Grenze zu interpretieren$\hbar \to 0$. Es ist einfacher zu sehen, was vor sich geht, wenn Sie ein Gaußsches Wellenpaket mit einer Positionsraumstreuung betrachten$\Delta x$stattdessen. Sie werden feststellen, dass sich die Ausbreitung im Impulsraum ausbreitet$\Delta p \propto \hbar / \Delta x$. Also, wenn wir nehmen$\Delta x \to 0$ beim Halten$\hbar$fixiert , um a zu bekommen$\delta$-Funktion Position Wellenfunktion, wie Emilio tut, dann finden wir, dass die kinetische Energie geht wie$(\Delta p)^2 \propto \hbar^2 / (\Delta x)^2$und divergiert. Körperlich natürlich$\hbar$ festgelegt ist , daher ist dies normalerweise die logische Vorgehensweise. Aber in der klassischen Grenze ist es sinnvoller, an das Nehmen zu denken$\hbar \to 0$ bevor wir nehmen$\Delta x \to 0$. In diesem Fall erhalten wir mit beiden ein "deterministisches" klassisches Teilchen$\Delta x = \Delta p = 0$, die Nullenergie haben kann.

Das ist alles etwas heuristisch, weil wir eigentlich dimensionslose Verhältnisse auf Null setzen sollten. Der strengere Weg, dies zu tun, besteht darin, die charakteristischen Längen- und Impulsskalen zu berücksichtigen, die dem jeweiligen Oszillatorpotential innewohnen, und an die Wellenpaketspreizungen relativ zu diesen Skalen zu denken. Sie werden feststellen, dass die klassische Grenze wirklich Regimen entspricht, in denen sowohl die Orts-Raum- als auch die Impuls-Raum-Spreizungen viel kleiner sind als diese charakteristischen Skalen, so dass das Teilchen sowohl im Orts- als auch im Impulsraum nahezu perfekt lokalisiert ist . In diesem Fall stellen wir fest, dass die "klassische Energie" viel größer ausfällt als die Nullpunktsenergie$\propto \hbar \omega$, letzteres kann also vernachlässigt werden. Das ist die rigorose Art zu rechtfertigen, ob man nehmen soll$\Delta x \to 0$oder$\hbar \to 0$Erste; Die richtige Wahl spiegelt die relative Positionsstreuung Ihrer Wellenfunktion zur relevanten Längenskala wider, die durch den Hamilton-Operator festgelegt wurde.