Beweis, dass der eindimensionale einfache harmonische Oszillator nicht entartet ist?

I) Es hängt davon ab, wie abstrakt OP es haben möchte. Angenommen, wir verwerfen alle Verweise auf 1D-Geometrie sowie Positions- und Impulsoperatoren$\hat{q}$und$\hat{p}$. Sag, dass wir nur das wissen

$$\tag{1}\frac{\hat{H}}{\hbar\omega} ~:=~ \hat{N}+\nu{\bf 1}, \qquad\qquad \nu\in\mathbb{R},$$ $$\tag{2} \hat{N}~:=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a},$$ $$\tag{3} [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]~=~{\bf 1}, \qquad\qquad[{\bf 1}, \cdot]~=~0.$$

(Da wir jegliche Bezugnahme auf Geometrie gestrichen haben, gibt es keinen Grund mehr dafür$\nu$sollte die Hälfte sein, also haben wir es auf eine beliebige reelle Zahl verallgemeinert$\nu\in\mathbb{R}$.)

II) Nehmen Sie als nächstes an, dass die physikalischen Zustände in einem inneren Produktraum leben$(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )$, und das$V$eine nicht-triviale irreduzible einheitliche Darstellung der Heisenberg-Algebra bilden,

$$\tag{4} {\cal A}~:=~ \text{associative algebra generated by $\hat{a}$, $\hat{a}^{\dagger}$, and ${\bf 1}$}.$$

Das Spektrum eines halbpositiven Operators $\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$ist immer nichtnegativ,

$$\tag{5} {\rm Spec}(\hat{N})~\subseteq~ [0,\infty[.$$

Insbesondere das Spektrum${\rm Spec}(\hat{N})$wird von unten begrenzt. Da der Betreiber$\hat{N}$pendelt mit dem Hamiltonian$\hat{H}$, wir können benutzen$\hat{N}$die physikalischen Zustände zu klassifizieren. Lassen Sie uns skizzieren, wie das Standardargument geht. Sag das$|n_0\rangle\neq 0$ist ein normierter Eigenzustand für$\hat{N}$mit Eigenwert$n_0\in[0,\infty[$. Wir können den Operator zum Absenken der Leiter (Vernichtung) verwenden$\hat{a}$wiederholt, um neue Eigenzustände zu definieren

$$\tag{6} |n_0- 1\rangle,\quad |n_0- 2\rangle, \quad\ldots$$

die jedoch Nullnorm haben könnte. Da das Spektrum${\rm Spec}(\hat{N})$von unten begrenzt wird, muss dieser Absenkvorgang (6) in endlich vielen Schritten aufhören. Es muss eine Ganzzahl vorhanden sein$m\in\mathbb{N}_0$so dass Nullnorm auftritt

$$\tag{7} \hat{a}|n_0 - m\rangle~=~0.$$

Annehmen, dass$m$ist die kleinste dieser ganzen Zahlen. Die Norm ist

$$\tag{8} 0 ~=~ || ~\hat{a}|n_0 - m\rangle ~||^2 ~=~ \langle n_0 - m|\hat{N}|n_0 - m\rangle ~=~ ( n_0 - m) \underbrace{||~|n_0 - m\rangle~||^2}_{>0},$$

also ist der ursprüngliche Eigenwert eine ganze Zahl

$$\tag{9} n_0 ~=~ m\in\mathbb{N}_0,$$

und Gl. (7) wird

$$\tag{10} \hat{a}|0\rangle ~=~0,\qquad\qquad \langle 0 |0\rangle ~\neq~0.$$

Als nächstes können wir den Operator zum Anheben der Leiter (Erstellung) verwenden$\hat{a}^{\dagger}$wiederholt, um neue Eigenzustände zu definieren

$$\tag{11} |1\rangle,\quad |2\rangle,\quad \ldots.$$

Durch ein ähnliches Normargument kann man sehen, dass diese Erhöhungsprozedur (11) schließlich keinen Null-Norm-Zustand erzeugen kann und daher ewig weitergeht / nicht aufhört. Induktiv, auf der Bühne$n\in\mathbb{N}_0$, die Norm bleibt ungleich Null,

$$\tag{12} || ~\hat{a}^{\dagger}|n\rangle ~||^2 ~=~ \langle n|\hat{a}\hat{a}^{\dagger}|n\rangle~=~ \langle n|(\hat{N}+1)|n\rangle ~=~ (n+1) ~\langle n|n\rangle~>~0.$$

So$V$enthält mindestens eine vollständige Kopie des Standard-Fock-Raums. Andererseits durch die Irreduzibilitätsannahme der Vektorraum$V$kann nicht größer sein, und$V$ist also nur ein Standard-Fock-Raum (bis auf Isomorphie).

III) Schließlich, wenn$V$ist also nicht irreduzibel$V$könnte eine direkte Summe mehrerer Fock-Räume sein. Im letzteren Fall ist das Energieniveau des Grundzustands entartet.

Jedes eindimensionale Potentialsystem hat ein einzigartiges Vakuum, weil es das Minimum der folgenden Funktion ist

$$\int |\psi'|^2 + V(x) |\psi|^2 dx$$

Was durch eine echte positive (knotenlose) Wellenfunktion minimiert wird. Wenn es zwei verschiedene Minima gibt (wenn es eine Entartung gibt), dann hat eine Linearkombination der beiden Wellenfunktionen einen Knoten, und dies ist mit einem regulären Potential nicht vereinbar.

Die einzige Möglichkeit, entartete Grundzustände (oder zwei getrennte unabhängige Grundzustände) zu haben, besteht darin, dass das Potential V eine unendliche harte Wand hat, die verschiedene Regionen trennt. Andernfalls ist die Grundzustands-Wellenfunktion überall nicht verschwindend und das obige lineare Kombinations-/Knoten-Argument funktioniert.

Für den harmonischen Oszillator ist es etwas trivialer zu beweisen als dieses allgemeine Zeug, weil der Grundzustand durch den Vernichtungsoperator vernichtet wird$x+ip$, und dies ist eine Differentialgleichung erster Ordnung mit genau einer Lösung bis zur Neuskalierung, die der Gaußsche Grundzustand ist.