Frage zu Sakurais Behandlung des harmonischen Oszillators:

In Abschnitt 2.3 der zweiten Ausgabe von Modern Quantum Mechanics (der den harmonischen Oszillator behandelt) leitet Sakurai die Beziehung her

N A | N ⟩ = ( N − 1 ) A | N ⟩ ,
und sagt das

das impliziert das A | N ⟩ Und | N − 1 ⟩ bis auf eine multiplikative Konstante gleich sind.

Für mein Empfinden ist dies nur impliziert, wenn die λ -Eigenraum des Zahlenoperators N := A † A korrespondierend zu λ = N − 1 ist eindimensional. Wenn es mehrdimensional ist, dann können wir das nicht sagen A | N ⟩ Und | N − 1 ⟩ sind proportional. Also (es sei denn, ich habe einen grundlegenden Fehler gemacht), woher wissen wir, dass die λ Eigenräume von N sind eindimensional?

Antworten (1)

OP schrieb (v1):

Also (es sei denn, ich habe einen grundlegenden Fehler gemacht), woher wissen wir, dass die λ -Eigenräume von N sind eindimensional?

Ja, OP hat Recht. Im Allgemeinen können wir es nicht wissen. Es gibt reduzierbare einheitliche Darstellungen der Heisenberg-Algebra [ A , A † ] = 1 , wobei die Eigenwerte von N sind degeneriert.

Wenn man jedoch annimmt, dass der Ket-Hilbert-Raum eine nicht-triviale irreduzible einheitliche Darstellung der Heisenberg-Algebra ist, dann kann man zeigen, dass die Eigenwerte von N muss nicht degeneriert sein. Siehe zB diese Phys.SE-Antwort.

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