Was ist die Weyl-Algebra eines eingeschlossenen bosonischen Teilchens?

Die abstrakte Weyl-Algebra$W_n$ist die von einer Familie von Elementen erzeugte *-Algebra$U(u),V(v)$mit$u,v\in\mathbb{R}^n$so dass (Weyl-Beziehungen)

$$U(u)V(v)=V(v)U(u)e^{i u\cdot v}\ \ Commutation\ Relations$$ $$U(u+u')=U(u)U(u'),\qquad V(v+v')=V(v)V(v')$$ $$U(u)^*=U(-u),\qquad V(v)^*=V(-v)$$ Es ist eine wohlbekannte Tatsache (Stone-von-Neumann-Theorem), dass alle irreduziblen Darstellungen $\pi:W_n\rightarrow B(H)$dieser Algebra so dass $$s-\lim_{u\rightarrow 0}\pi(U(u))=U(0),\qquad s-\lim_{v\rightarrow 0}\pi(V(v))=V(0)$$ sind unitär äquivalent zum Schrödinger: $$H\equiv L^2(\mathbb{R}^n)$$ $$\pi(U(u))\equiv e^{i\overline{u\cdot X}},\qquad \pi(V(v))\equiv e^{i\overline{v\cdot P}}$$ Wo $X,P$sind die üblichen Orts- und Impulsoperatoren, die auf dem Schwartz-Raum definiert (und im Wesentlichen selbstadjungiert) sind $S(\mathbb{R}^n)$. Aus diesem Grund wird diese Algebra normalerweise mit der Quantisierung eines spinlosen nichtrelativistischen Teilchens in Verbindung gebracht $\mathbb{R}^n$. Aber was passiert, wenn man ein spinloses Teilchen betrachtet, das auf einen Teilbereich beschränkt ist? $K\subset\mathbb{R}^n$, zum Beispiel ein Kreis $S^1\subset\mathbb{R}^2$, eine Sphäre $S^2\subset\mathbb{R}^n$oder eine generische offene Teilmenge? Der Zustandsraum könnte noch als gewählt werden $L^2(K)$, aber was ist mit der zugehörigen Weyl-Algebra? Ich denke, es kann immer noch abstrakt definiert werden, aber während die Kommutierungsbeziehungen in gewisser Weise erhalten bleiben müssen, ist die Parameterdomäne $(u,v)$kann noch nicht genommen werden $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$andernfalls fallen wir in den vorherigen Kontext.

Gibt es ein Rezept für eine solche allgemeine Situation? Genauer gesagt: Wenn ein bosonisches Teilchen in einer Unterregion K eingeschlossen ist, ist es möglich, eine Familie abstrakter Elemente zu assoziieren$U(u),V(v)$,$u,v$B. zu einigen Additivgruppen gehören, so dass die obigen Weyl-Eigenschaften erfüllt sind?