Gibt es ein verallgemeinertes Wigner-Eckart-Theorem?

Ja. Man kann Tensoroperatoren ganz allgemein definieren (in der Regel durch endlichdimensionale Darstellungen transformieren) und hat es auch

$$\langle \lambda_1;\alpha_1\vert T_{\lambda_2,\alpha_2}\vert \lambda_3,\alpha_3\rangle = \langle \lambda_1 \Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle \times \hbox{(something)}$$ mit $\langle \lambda_1 \Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle$abhängig von den Darstellungsetiketten $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$nur aber nicht auf den "internen Etiketten" $\alpha_k$. Das "Etwas" ist normalerweise proportional zu einem CG und enthält im Fall einer kompakten Gruppe auch einen gewissen Dimensionalitätsfaktor. (Der interessante Fall von nicht-kompaktem su(1,1) wird diskutiert in Ui, Haruo. „su (1, 1) quasi-spin formalism of the many-boson system in aspherical field.“ Annals of Physics 49.1 (1968 ): 69-92.)

Generator (als Tensoren) haben$\lambda_1=\lambda_3$per Definition (da sie Repräsentationsbezeichnungen nicht ändern können), aber im Allgemeinen brauchen Sie das nicht unbedingt$\lambda_1=\lambda_3$. Zum Beispiel,$x+iy$ist die Komponente einer$L=1$Tensor für$su(2)$und kann sich sicherlich ändern$j$zwischen Anfangs- und Endzustand.

In$su(2)$Alle Irreps sind selbst konjugiert, also ist die Bedingung allgemeiner$\lambda_1^*\otimes\lambda_2\otimes\lambda_3$enthalten die triviale Darstellung.

Es gibt viel Literatur zu Tensoroperatoren für$SU(n)$da diese Art von Technik in der Kernphysik (insbesondere im Zusammenhang mit$SU(3)$Modelle und die sogenannten IBM-Modelle von Arima und Iachello). Allgemeiner verbrachte LC Biedenharn einen Teil seiner Karriere damit, dies zu studieren, und insbesondere so genannte Verschiebungstensoren zu studieren, um bei der Konstruktion von CG-Koeffizienten zu helfen. Ein repräsentatives Papier ist dieses .

Es gibt auch Tensoroperatoren und die Formulierung des Wigner-Eckart-Theorems für endliche Gruppen.

Vielleicht möchten Sie diese überprüfen:

1. Agrawala, Vishnu K. "Wigner-Eckart-Theorem für eine beliebige Gruppe oder Lie-Algebra." Zeitschrift für mathematische Physik 21.7 (1980): 1562-1565.
2. Jeevanjee, Nadir. Eine Einführung in Tensoren und Gruppentheorie für Physiker, Birkhauser, 2016., Sec.6.2
3. Rowe, DJ und J. Repka. "Induzierte Verschiebungstensoren in der vektorkohärenten Zustandstheorie." Zeitschrift für mathematische Physik 36.4 (1995): 2008-2029.

---

Bearbeitet, um hinzuzufügen:

Für das reduzierte Matrixelement$\langle \lambda_1\Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle$nicht null sein soll, kann über die Anforderung hinaus nicht viel gesagt werden$\lambda_1$in der Zerlegung von enthalten sein$\lambda_2\otimes\lambda_3$. Auch wenn dies der Fall ist, gibt es dafür keine Garantie$\langle \lambda_1\Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle\ne 0$da dies vom spezifischen Tensor und auch vom Wie abhängen kann$\lambda_k$sind konstruiert.

Im Allgemeinen das Tensorprodukt

$$\lambda_2\otimes\lambda_3=\sum_k \gamma_k\lambda_k$$ mit $\gamma_k$die Anzahl der Male $\lambda_k$tritt bei der Zersetzung von auf $\lambda_2\otimes\lambda_3$.

In$SU(2)$,$\gamma_k$ist immer entweder$0$oder$1$, aber das ist nicht der allgemeine Fall. Sogar das Tensieren des Adjunkten von$SU(3)$mit sich selbst - dh$(1,1)\otimes (1,1)$oder$\boldsymbol{8}\otimes\boldsymbol{8}$abhängig von Ihrer Notation - werden zwei Kopien von erstellt$(1,1)$in der Dekomposition, was auf verschiedene Weise überprüft werden kann, wie z. B. Young-Tableaus.

Das Problem ist, dass es keinen einfachen Algorithmus gibt, um Basiselemente für die mehreren Kopien zu konstruieren$\lambda_k$, was bedeutet, dass Sie kein Paddel haben, wenn es darum geht, etwas über Nullen der reduzierten Matrixelemente zu sagen, außer auf Einzelfallbasis. Immerhin sind die mehrfachen Kopien von$\lambda_k$sind mathematisch äquivalent, so dass es durchaus möglich ist, (die gleichen globalen) linearen Kombinationen von Basiselementen in zwei (oder mehr) Kopien von zu nehmen$\lambda_k$eine weitere legitime Grundlage sein. (Dies ist ziemlich analog zur degenerierten Störungstheorie, wo keine spezifischen linearen Kombinationen von Basiszuständen im degenerierten Unterraum herausgegriffen werden.) If$\rho$unterscheidet das Auftreten von$\lambda_k$, es könnte eine Auswahl an Basen geben, in denen mehr$0$darin erscheinen$\langle \lambda_1;\rho_1\Vert T_{\lambda_2;\rho_2}\Vert \lambda_3;\rho_3\rangle$für einen oder mehrere spezifische Tensoren, aber das ist wirklich von Fall zu Fall.

Der Vollständigkeit halber kann ich hinzufügen, dass die bekannteren Verfahrensbeispiele zum Erstellen mehrerer Kopien von irreps stammen$su(3)$. Natürlich spricht dies nur direkt die Berechnung von Basiszuständen an, nicht die Berechnung von reduzierten Matrixelementen, aber es stützt sich stark auf die Verwendung des WE-Theorems für "spezielle" Verschiebungstensoren.

Der bekannteste Algorithmus ist

1. Draayer, JP und Yoshimi Akiyama. "Wigner- und Racah-Koeffizienten für SU (3)." Zeitschrift für mathematische Physik 14.12 (1973): 1904-1912

und die Nachfolge

2. Bahri, C. und JP Draayer. "SU (3) reduziertes Matrixelementpaket." Computerphysikkommunikation 83.1 (1994): 59-94. Das ist komplett numerisch.

Einige frühe analytische Arbeiten finden sich in

3. Hecht, KT "SU3-Wiederkopplung und fraktionierte Abstammung in der 2s-1d-Schale." Nuclear Physics 62.1 (1965): 1-36 und verdeutlichen die Komplexität der Aufgabe.

Das eleganteste Verfahren verwendet die vektorkohärente Zustandstheorie:

4. Rowe, DJ und J. Repka. "Ein algebraischer Algorithmus zur Berechnung von Clebsch-Gordan-Koeffizienten; Anwendung auf SU (2) und SU (3)." Zeitschrift für mathematische Physik 38.8 (1997): 4363-4388.

und wurde numerisch implementiert in

5. Bahri, C., DJ Rowe und JP Draayer. "Programme zum Generieren von Clebsch-Gordan-Koeffizienten von SU (3) in SU (2) und SO (3) Basen." Computerphysikkommunikation 159.2 (2004): 121-143.

Dies ist auch weitgehend numerisch, da es die Diagonalisierung einiger Matrizen erfordert, wenn wiederholte Irreps in der Zerlegung auftreten, aber der Konstruktion von Zuständen in wiederholten Irreps in der großen Darstellungsgrenze kann ein gewisser Sinn gegeben werden.