Warum wirkt sich der Hebe- und Senkoperator nicht auf den Gesamtdrehimpuls aus?

Meine Notizen definieren:

$$L_{\pm} = L_{x} \pm i L_{y}$$

und erklärt:

$$[L_{z},L_{\pm}] = \pm \hbar L_{\pm}$$

Ich bin damit einverstanden, da es einfach ist, das Ergebnis mit etwas hässlicher Algebra zu zeigen.

Da heißt es:

Da pendelt jede Komponente des Drehimpulses mit$L^2$wir können daraus die Wirkung von ableiten$L_±$An$|a, b>$kann den Wert von a in Bezug auf die Größe des Drehimpulses nicht beeinflussen.

Ich stecke gerne Dinge ein, um es zu beweisen, aber ich möchte sehen, wie ich es nach Möglichkeit ableiten kann

ich verstehe das $L^2$pendelt mit $L_\pm$Weil $L^2$pendelt mit dem Individuum $L_x$Und $L_y$dieses Make Up $L_\pm$, aber ich verstehe nicht, warum das bedeutet, dass es die Größe nicht beeinflussen kann.

Zwei Operatoren, die pendeln, können gleichzeitig bekannt sein, aber das hilft nicht, weil der Leiteroperator nicht hermitesch ist, also keine Observable.

Jede Hilfe geschätzt!

EDIT: Verstanden.

$$[L^2 , L_i] = 0$$ So $$L^2 ( L_\pm | a, b > ) = L_\pm (L^2 |a, b>) = a L_\pm |a, b>$$

Vergessen Sie die grundlegende Eigenschaft, dass pendelnde Operatoren ... pendeln.