Warum wird der Bahndrehimpuls nach I=ℏℓ(ℓ+1)−−−−−−√I=ℏℓ(ℓ+1)I= \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)} quantisiert?

Ich habe einfach keine Ahnung, wie dieses Ergebnis gefunden wird

ICH = ℏ ℓ ( ℓ + 1 ) .
Das Ergebnis scheint eher in Lehrbüchern abgelegt als erklärt zu werden. Ich kann das Ergebnis erhalten ICH z = ℏ M J . Bitte erklären Sie so genau wie möglich, wie dies hergeleitet wird.

Außerdem wären Hinweise auf Bücher / Videos, die mir beim Erlernen der Quantenmechanik helfen könnten, willkommen.

Das ist eigentlich ein ziemlich heikles Problem, aber das Wesentliche muss so etwas sein wie: „Wir bekommen diese Gleichung für Φ ( ϕ ) , wir können annehmen Φ ( ϕ ) = Z ( cos ⁡ ( ϕ ) ) denn auf dieser Strecke cos ist invertierbar; das gibt die zugehörige Legendre-Gleichung in z = cos ⁡ ϕ , dann brauchen wir für eine richtige Lösung (mindestens) Φ ' ( 0 ) = Φ ' ( π ) = 0 , und möglicherweise verschwinden auch andere Ableitungen." Diese Randbedingungen sind so ziemlich die einzigen Dinge, auf die die zugehörige Zahl quantisiert werden kann ℓ ( ℓ + 1 ) .
Die Antwort von ACuriousMind ist richtig, wird dieses Problem jedoch nicht für Personen entmystifizieren, die die Gruppentheorie nicht fließend beherrschen. Für ein sehr grobes, intuitives, visuelles Argument siehe Abschnitt 14.2.4 meines Buches Simple Nature: lightandmatter.com/area1sn.html .

Antworten (1)

Dies kommt aus der Darstellungstheorie der Rotationsgruppe S Ö ( 3 ) .

Die Quantenmechanik findet in einem Vektorraum statt, und Observablen sind Operatoren in diesem Raum. Aus den Drehimpulsen ergibt sich der Gesamtbetrag des Drehimpulses L X , L j , L z um die drei Raumachsen als

L = L X 2 + L j 2 + L z 2
da dies die Länge des Vektors ist L → = ( L X , L j , L z ) T .

Die Darstellungstheorie der Rotationsgruppe sagt Ihnen nun, dass die einzig möglichen Werte für L auf sogenannte irreduzible Darstellungen , zu denen die Staaten mit ICH = l ( l + 1 ) gehören, beschränkt sind L = l ( l + 1 ) mit l eine ganze Zahl. Sie können nicht machen L X , L j , L z verhalten sich wie Drehimpulsoperatoren (dh als Operatoren, die die Rotationen in dem Sinne erzeugen, dass sie die zur Rotationsgruppe gehörende Lie-Algebra bilden) ohne L nimmt diese ganzzahligen Werte. Der Beweis dafür ist technisch und findet sich zB auf der Wikipedia-Seite, die ich am Anfang verlinkt habe, oder, in einem anderen Ansatz, in meiner Antwort hier .

Der Vorfaktor ℏ = H 2 π für l ( l + 1 ) wird durch Dimensionsanalyse und Vergleich mit Versuchsergebnissen gefunden.

Es ist wahrscheinlich nicht so allgemein, aber es gibt auch die Tatsache, dass Sie, wenn Sie die Schrödinger-Gleichung für ein Rotationssystem lösen, Legendre-Polynome (oder allgemein sphärische Harmonische) erhalten, und wenn Sie nicht quantisieren ℓ Sie erhalten keine wohlerzogenen Lösungen.
Ist es nicht möglich, dieses Ergebnis aus der Schrödinger-Gleichung zu erhalten?
@zeldredge: Eigentlich sind die sphärischen Harmonischen (Link zum entsprechenden Teil des Wiki-Artikels) mit fest l sind alle irreduziblen Darstellungen der Rotationsgruppe, daher glaube ich, dass dies ein völlig äquivalenter Weg ist, wenn Sie einen rotationsinvarianten Hamilton-Operator haben.
Ach, ich glaube du hast recht. Entschuldigung, meine Darstellungstheorie ist nicht so gut, wie sie sein könnte, und ich habe keine gute Intuition dafür, wie sie in die Dinge eingeht.
@RobChem: Es ist zB möglich, wenn Sie sich das Wasserstoffatom ansehen . Sie stellen fest, dass die Lösungen des winkelabhängigen Anteils, der Kugelflächenfunktion , genau das aufweisen l ( l + 1 ) , aber da fällt es irgendwie aus der Struktur der Lösungen heraus, mit wenig Einblick. Die Repräsentationstheorie ist der zugrunde liegende Grund.
Warum wird der Bahndrehimpuls nach I=ℏℓ(ℓ+1)−−−−−−√I=ℏℓ(ℓ+1)I= \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)} quantisiert?
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