Formalismus und Darstellung in der Quantenmechanik

Ich bin nur neugierig auf den Formalismus der grundlegenden Quantenmechanik. Nehmen wir zum Beispiel das System eines Spin- 1 2 Partikel. Der Zustand des Teilchens wird durch einen Vektor in einem abstrakten Hilbert-Raum beschrieben, der zweidimensional ist (z H ). Die Menge der Endomorphismen auf H Bilden Sie eine Gruppe (was hoffentlich die ist S U ( 2 ) Gruppe). Jetzt werde ich nur eine abstrakte endomorphe Karte in definieren H , so dass

σ ^ z : | + ⟩ → | + ⟩ | | | − ⟩ → − | − ⟩
Wo | + ⟩ , | − ⟩ ∈ H

Ganz klar der Betreiber σ ^ z ist hermitesch und die Eigenvektoren sind orthonormal und können daher als Basissatz gewählt werden. Daher kann jeder beliebige Vektor darüber entwickelt werden.

| ψ ⟩ = C + | + ⟩ + C − | − ⟩     w H e R e     C ∋ C ± = ⟨ ± | ψ ⟩
Nun, nach dem, was ich bisher gelernt habe, sehe ich irgendwie, dass ich eine Karte namens Repräsentation konstruieren kann R solche alle Elemente für H zugeordnet wird C 2

R : H → C 2 | R ( | ψ ⟩ ) = ( C + C − )

Diese Darstellungskarte bewahrt das innere Produkt auch glaube ich. Zum Beispiel,

⟨ ϕ | ψ ⟩ → ( D + D − ) ( C + C − ) ∈ C

Weiterhin können die Operatoren auch durch diese Darstellungskarte abgebildet werden, wobei die abstrakten Operatoren auf quadratische Matrizen abgebildet werden.

R : Ende ( H ) → Ende ( C 2 ) | R ( A ^ ) = ( ⟨ + | A ^ | + ⟩ ⟨ + | A ^ | − ⟩ ⟨ − | A ^ | + ⟩ ⟨ − | A ^ | − ⟩ )

Mit diesem Aufbau entsprechen die Pauli-Matrizen und die 2-D-Irrep des Vektors alle dieser Karte R Rechts ? All diese Dinge entsprechen also einer Darstellung, die unter Verwendung der Eigenvektoren von konstruiert wurde σ z ?

Ich möchte auch wissen, wie man eine solche Verbindung in den Fällen der Positionsbasis herstellt, insbesondere zwischen | X ⟩ Und L 2 Räume.

PS: Ich weiß, dass diese Frage für eine bestimmte Forschungsgemeinschaft oder sogar für Menschen, die lernen, am wenigsten nützlich ist, aber das ist nur aus Neugier. Entschuldigen Sie, wenn dies eine sehr lächerliche Frage ist.

Antworten (1)

Für die Beziehung zwischen der abstrakten Positionsbasis und der L 2 Leerzeichen, ich verweise Sie auf meine Antwort hier (lesen Sie auch die anderen Antworten, sie sind gut;))

Sie sind mit Ihrem Verständnis der Darstellungen ziemlich nah dran, aber noch nicht ganz da:

Zunächst einmal für die 2-Dim-Spin- 1 2 Hilbert-Raum H ↑↓ , die Menge der Endomorphismen E N D ( H ↑↓ ) ist nicht S U ( 2 ) , aber die Gesamtheit der 2D-Matrizen, dh C 2 × 2 . Dies liegt daran, dass jeder endlichdimensionale Hilbert-Dimensionsraum N ist in erster Linie ein komplexer Vektorraum, und alle diese sind isomorph zu C N .

Nun, eine Darstellung einer bestimmten Gruppe G auf jedem Platz v ist nur ein Homomorphismus ρ : G → A u T ( v ) . Da haben wir die Inklusion S U ( 2 ) ⊂ C 2 × 2 , der Raum H ↑↓ kommt prausgestattet mit einer Darstellung von S U ( 2 ) . Seit S U ( 2 ) eine Lie-Gruppe ist , hat sie Generatoren, die in ihrer Lie-Algebra und jeder Darstellung liegen ρ der Lie-Gruppe induziert eine Darstellung D ρ : L ich e A l G ( G ) → E N D ( v ) der Algebra (und umgekehrt, mit einigen Einschränkungen).

[Lie-Gruppen sind erstaunliche Dinge und sehr grundlegend für die theoretische Physik, insbesondere für das Verständnis von Symmetrien. Ich rate Ihnen, mehr über sie zu erfahren, als ich hier sagen werde.]

Die drei Generatoren von S U ( 2 ) werden kanonisch bezeichnet σ X , σ j , σ z . Sie können jetzt Eigenvektoren von (z. B.) auswählen D ρ ( σ z ) An H ↑↓ und nutze sie als Grundlage. Wenn Sie diese Eigenvektoren nennen | ± ⟩ (Es ist kein Zufall, dass die Eigenwerte von σ X , j , z in der fundamentalen Darstellung (das ist das, was das ist) sind + 1 Und − 1 ), haben Sie die gleiche Grundlage definiert, die Sie in Ihrem OP haben.

Natürlich war in diesem konkreten Beispiel der Zielraum H ↑↓ ist einfach isomorph zu C 2 , der Raum, auf dem S U ( 2 ) ist nativ definiert, D ρ Und ρ sind nur Identitäts- (genauer: Inklusions-) Karten.

Alles andere, was Sie in Ihrer Frage als Darstellung bezeichnet haben , ist nur eine "gewöhnliche" Basisänderung. Dies bedeutet, die Eigenvektoren auszuwählen σ z als neue Basis für den Vektorraum C 2 .

Fühlen Sie sich frei, um Klarstellungen/Ergänzungen zu bitten, wenn ich den Punkt Ihrer Frage verfehlt habe oder Sie etwas nicht verstanden haben.

In Bezug auf die Gruppe haben Sie völlig Recht. Die SU (2) ist nur eine Teilmenge, die bei der Transformation die Norm beibehält. Mein Fehler ! Danke
@ user35952: Richtig. Beachten Sie jedoch, dass die U ( 2 ) wäre die ganze Gruppe der normerhaltenden Transformationen, aber das wollen wir für unsere Spinoren nicht, da es sowohl "Reflexionen" als auch "Rotationen" beinhaltet, während die S U ( 2 ) hat nur "Rotationen" (es ist auch orientierungserhaltend ). (Außerdem hat es schönere Eigenschaften)
Der Basiswechsel im Raum C 2 ist anders. Ich spreche von der Tatsache, dass, wenn wir die Basisvektoren von wählen σ X , die Pauli-Matrizen selbst ändern sich. Die Pauli-Matrizen sind also im Grunde nur dann die Operatoren, wenn wir die Darstellungskarte mit den Basisvektoren von konstruieren σ z Rechts ?
Wenn Sie in die Eigenbasis einer Matrix wechseln, hat diese Matrix in dieser Basis eine Diagonalform, sodass sich die Pauli-Matrizen ändern , wenn Sie die Basis ändern. Die "kanonische" Form der Pauli-Matrizen bezieht sich auf eine vorgewählte Basis der C 2 in Frage stellen und dann die Inklusionskarte als Repräsentation nehmen. Wenn Sie eine andere Grundlage wählen C 2 zuvor erhalten Sie eine oberflächlich unterschiedliche, aber isomorphe Darstellung.
Formalismus und Darstellung in der Quantenmechanik
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