Warum erhalten wir falsche Halbspinwerte für den Bahndrehimpuls, wenn wir ihn algebraisch lösen?

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, lautet die Antwort, dass nicht alle Eigenschaften eines Operators in seinen Vertauschungsbeziehungen codiert sind.

Wenn Sie drei Operatoren genannt werden$L_1, L_2$, Und$L_3$und nur gesagt, dass sie den Vertauschungsbeziehungen gehorchen$[L_i,L_j]=(i\hbar) \epsilon_{ijk} L_k$, könnte man sich fragen, was sie (wenn überhaupt) über die Betreiber oder die Staaten, auf die sie wirken, schließen können. Es ist a priori möglich, dass Sie nichts über die Operatoren schließen können , ohne eine konkrete Implementierung von ihnen auf einem Hilbert-Raum bereitzustellen, aber das ist natürlich nicht wahr; Diese Informationen reichen aus, um die Existenz des Casimir-Operators festzustellen$L^2$, sowie alle möglichen Eigenwerte von abzuleiten$L^2$Und$L_3$was mit den Kommutatoren übereinstimmen würde.

Aber das ist nicht die ganze Geschichte. Eine konkrete Realisierung dieser Operatoren enthält mehr Informationen als die Vertauschungsrelationen allein. Wenn wir definieren$L_i := (-i\hbar)\epsilon_{ijk}x_j \partial_k$die auf eine Teilmenge von wirkt$L^2(\mathbb R^3)$, dann stellen wir nicht nur die Kommutierungsbeziehungen wieder her, mit denen wir begonnen haben, sondern finden auch nur ganzzahlige Werte von$l$sind erlaubt.

Wir sollten uns darüber nicht wundern. Die "algebraisch" abgeleiteten Spektren - die die Möglichkeit halbzahliger Werte zulassen$l$- basieren auf den Kommutatoren und den Kommutatoren allein. Mit anderen Worten, wir haben die Kommutatoren verwendet, um die möglichen Spektren der Operatoren einzuschränken (Anmerkung: nicht genau zu spezifizieren ). Eine konkrete Implementierung der Operatoren enthält die Kommutierungsrelationen, aber auch nähere Informationen darüber, wie der Operator auf den Hilbertraum wirkt. Daher ist es durchaus möglich, dass eine solche Implementierung die algebraisch abgeleiteten Spektren nicht erschöpfen würde, und tatsächlich stellt sich heraus, dass dies der Fall ist.

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Sie müssen übrigens nicht auf eine Wellengleichung zurückgreifen, um dies zu sehen. Die Drehimpulsoperatoren, die auf wirken$\mathbb C^2$(Spin 1/2) und solche, die auf einwirken$\mathbb C^3$(Spin 1) gehorchen genau den gleichen Kommutierungsbeziehungen, haben aber völlig unterschiedliche Spektren; Es ist daher offensichtlich, dass Kommutierungsrelationen nicht ausreichen, um Ihnen alles zu sagen, was Sie über die zugehörigen Operatoren wissen müssen.

Es ist bekannt, dass die endlichdimensionale Irreps$V_{\ell}$der Lie-Algebra$so(3)$werden nach Spin klassifiziert$\ell\in\frac{1}{2}\mathbb{N}_0$. Um halbzahlige Darstellungen für den Bahndrehimpuls (OAM) auszuschließen, liegt Algebra vor

$${\rm span}_{\mathbb{R}}(L_1,L_2,L_3)~\cong~ so(3),$$ man sollte nämlich die OAM-Operatoren nutzen $$L_j~=~\sum_{k,\ell=1}^3\epsilon_{jk\ell}x^kp^{\ell}$$ werden in Form von Orts- und Impulsoperatoren realisiert, die wiederum CCR erfüllen . Einzelheiten finden Sie zB in meiner Phys.SE-Antwort hier .

$\def\cH{\cal H} \def\vL{\vec L} \def\vn{\vec n}$Ich möchte aus einem anderen Blickwinkel antworten. Sie haben Eigenwerte von Drehimpulskomponenten gefunden${1 \over 2}\,n\hbar\ (n \in \Bbb Z)$. Nehmen wir an, Ihr physikalisches System besitzt Zustände mit all diesen Eigenwerten. Es ist bequem, ganzzahlige Eigenwerte von ungeraden halbzahligen zu trennen, indem man zwei Hilbert-Räume einführt,$\cH_+$Und$\cH_-$, erstere enthalten alle Eigenvektoren mit ganzzahligen Eigenwerten (und Linearkombinationen davon), letztere Eigenvektoren mit ungeraden halbzahligen Eigenwerten. Der volle Hilbertraum$\cH$wird die direkte Summe sein

$$\cH = \cH_+ \oplus \cH_-.$$ Beachten Sie, dass im Allgemeinen Eigenräume zu einem bestimmten Eigenwert gehören - sagen wir von$L_z$- wird vieldimensional (sogar unendlich dimensional) sein, da Ihr physisches System andere Observable besitzt, mit denen es pendelt$L_z$. Aber das wird meiner Argumentation nicht schaden.

Der Grund für meine Notation ist folgender. Definieren

$$R(\vn,\phi) = \exp\left(\!-{i \over \hbar}\,\phi\,\vn\cdot\vL\right)$$ Wo$\vn$ist ein Einheitsvektor,$\phi\in[0,2\pi]$. Es ist natürlich zu interpretieren$R$(was ein unitärer Operator auf ist$\cH$) als Drehung des Winkels$\phi$um eine orientierte Achse mit Einheitsvektor$\vn$.

Lassen Sie uns die Wirkung von untersuchen$R(\vn,2\pi)$. Beim Einwirken auf einen Eigenvektor von$L_z$mit ganzzahligem Eigenwert$R(\vn,2\pi)$lässt es invariant, während für ungerade halbzahlige Eigenwerte der Eigenvektor multipliziert wird$-1$. In beiden Fällen ist der Zustand (Vektor bis zu einem Phasenfaktor) unverändert, was zufriedenstellend ist. Aus der Definition von$\cH_+$,$\cH_-$, dasselbe passiert für jeden Vektor in diesen Unterräumen, und dies erklärt Indizes$_+$,$_-$.

Aber wenn wir einen Vektor betrachten müssten, der eine lineare Überlagerung von einem von ist$\cH_+$und einer von$\cH_-$wir würden ein unangenehmes Ergebnis erhalten: Der endgültige Vektor würde einen anderen Zustand darstellen als der anfängliche. Wir werden daher zu der Annahme verleitet, dass solche Überlagerungen nicht vorkommen. So weit wie$\vL$Besorgt sind wir auf sicherem Boden, da diese Operatoren invariant bleiben$\cH_+$Und$\cH_-$. Aber unsere Annahme ist nicht trivial, wenn andere Observablen berücksichtigt werden: Wir fordern, dass alle Observablen unser System verlassen$\cH_+$Und$\cH_-$unveränderlich. Dies ist als Superselektionsregel nach Wick, Wightman, Wigner bekannt.

Einfacher ausgedrückt, ein Quantensystem kann in einer von zwei möglichen Arten von Zuständen geboren werden, die sich durch Eigenwerte des Drehimpulses unterscheiden: entweder ganzzahlig oder halbzahlig ungeradzahlig. Kein internes Ereignis in igs evolution kann diese Markierung ändern. (Es ist notwendig, "intern" zu sagen, weil eine Wechselwirkung diesen Effekt haben kann: Denken Sie zB an ein Atom, das ein Elektron verliert. Obwohl es als ein anderes System angesehen werden könnte.)

Eine letzte Anmerkung. Wenn man an Atome denkt, ist es üblich, viele Drehimpulse einzuführen. Orbital und Spin eines einzelnen Elektrons oder Summe mehrerer Elektronen. Alle von ihnen gehorchen den gleichen Kommutierungsbeziehungen und sind akzeptable Observablen für das gesamte System, ob sie Bewegungskonstanten sind oder nicht. Aber die$+$oder$-$Die Markierung für das Atom hängt nur von der Anzahl der Elektronen ab, da jedes mit einem 1/2 Spin beiträgt. (Ich vernachlässige den Kernspin, der nicht immer erlaubt ist.)