Wie leiten wir mathematisch ab, dass der Drehimpuls begrenzt ist?

Du kannst es so beweisen. Anwenden$J_+$n mal zu einem Eigenket von$\mathbf{J}^2$Und$J_z$. Somit erhält man ein weiteres Eigenket von$\mathrm{J}^2$Und$J_z$wo der Eigenwert von$\mathbf{J}^2$ist unverändert und$J_z$Eigenwert erhöht sich um$n\hbar$. Wie Sie sehen werden, können Sie diesen Vorgang nicht unbegrenzt wiederholen, und es gibt eine Obergrenze dafür$\beta$,$J_z$Eigenwert, für einen gegebenen Eigenwert$\alpha$von$\mathbf{J}^2$. Das gibt dir also$\alpha\geq\beta$. Um dies zu sehen, gehen Sie wie folgt vor

$\mathbf{J}^2$-$J_{z}^2$=$\frac{1}{2}(J_+J_-+J_-J_+)=\frac{1}{2}(J_+J_{+}^{\dagger}+J_{+}^{\dagger}J_+)$

Davon$J_+J_{+}^{\dagger}$Und$J_{+}^{\dagger}J_+$müssen nichtnegative Erwartungswerte haben. Dies führt uns zu

$\langle\alpha,\beta|(\mathbf{J}^2$-$J_{z}^2)|\alpha,\beta\rangle\geq0$

Also muss es eine geben$\beta_{max}$st$J_+|\alpha,\beta_{max}\rangle=0$. Dies impliziert das$J_-J_+|\alpha,\beta_{max}\rangle=0$. Sie können jedoch umschreiben$J_-J_+=\mathbf{J}^2-J_{z}^2-\hbar J_z$. Wenden Sie dies an$|\alpha,\beta_{max}\rangle$für die Eigenwerte erhält man folgende Beziehung$\alpha=\beta_{max}(\beta_{max}+\hbar)$. Auf ähnliche Weise können Sie beweisen, dass es auch a geben muss$b_{min}$st$J_-=|\alpha,\beta_{min}\rangle=0$. Durch die gleichen Schritte finden Sie$\alpha=\beta_{min}(\beta_{min}-\hbar)$. Wenn Sie die beiden Gleichheiten für die Eigenwerte vergleichen, finden Sie das$\beta_{max}=-\beta_{min}$. Also bewerben$J_+$Zu$|\alpha,\beta_{min}\rangle$eine endliche Anzahl von Malen, die wir finden müssen$|\alpha,\beta_{max}\rangle$. Dies führt Sie zu$\beta_{max}=\beta_{min}+n\hbar=\frac{n\hbar}{2}$

Hier definieren wir$j$als$\frac{\beta_{max}}{\hbar}$st$j=\frac{n}{2}$und definieren$m$als$\beta=m\hbar$. Daraus ersehen Sie die$m$Werte für ein gegebenes$j$;$m=-j,-j+1,\dots,j-1,j$(eine Anzahl von$2j+1$Zustände).