Unendliche dimensionale Darstellungen von SO(3)SO(3)\text{SO}(3)

In der Drehimpulstheorie wollen wir die projektiven Darstellungen der Rotationsgruppe studieren SO ( 3 ) , wofür wir uns der Darstellungstheorie der Doppelhülle zuwenden SO ( 2 ) . Ich verstehe die endlichdimensionale Darstellungstheorie der Lie-Algebra S u ( 2 ) wobei wir je nach Dimension der Darstellung entweder ganzzahlige oder halbzahlige Gewichte finden. Ich konnte jedoch keine zufriedenstellende Behandlung des unendlich dimensionalen Falls finden. Lassen H = L 2 ( R 3 ) . Es ist bekannt, dass die Eigenwerte der Drehimpulsoperatoren auf diesem Hilbert-Raum ganzzahlige Vielfache von sein werden ℏ , keine halben Zahlen. Wie können wir dies mit Hilfe der Darstellungstheorie sehen?

Bearbeiten: Ich habe mit Hilfe der Kommentatoren eine Antwort gefunden (danke!). L 2 ( R 3 ) zerlegt sich als orthogonale direkte Summe von Vektorräumen v l , die jeweils unter der Einwirkung der Rotationsgruppe unveränderlich und somit unter dieser Einwirkung irreduzibel sind. Weiterhin kann man zeigen, dass jeder dieser Vektorräume v l Dimension hat 2 l + 1 , Wo l ist eine ganze Zahl. Somit ist jeder dieser Räume ungerade. Daher die projektive Darstellung von SO ( 3 ) auf jeder v l wird ganzzahlige Eigenwerte haben. Siehe Hall - Quantentheorie für Mathematiker für den Beweis.

S Ö ( 3 ) ist kompakt, also sind alle einheitlichen Darstellungen äquivalent zu endlichdimensionalen ... oder denken Sie an eine Grenze der großen Darstellung oder nicht einheitlicher Irreps?
@ZeroTheHero Was meinst du damit, dass alle einheitlichen Darstellungen endlichdimensionalen entsprechen? Wenn ich den Hilbertraum darstellen möchte SO ( 2 ) on ist unendlichdimensional, wie kann ich das als endlichdimensionale Darstellung realisieren?
Zerlegen Sie den Hilbert-Raum in endlichdimensionale Irreps. Siehe en.wikipedia.org/wiki/…
@ZeroTheHero das erklärt nicht, warum wir nur ganzzahlige Eigenwerte sehen. Es scheint, dass wir im unendlichdimensionalen Fall nur gewöhnliche Darstellungen von betrachten SO ( 3 ) eher als projektive, aber ich verstehe nicht warum.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgen kann. Vielleicht können Sie klarstellen, was Sie mit "unendlich dimensionalem Fall" meinen? Die Eigenwerte der Drehimpulsoperatoren (ich nehme an, Sie schließen den Spin aus) sind immer ganze Zahlen.
@ZeroTheHero Spin ist eben ein Sonderfall der Repräsentationstheorie SO ( 3 ) wo wir eine projektive einheitliche Darstellung auf einem endlichdimensionalen Hilbert-Raum finden. Weil es projektiv ist, vertreten wir SO ( 2 ) stattdessen finden wir ganzzahlige und halbzahlige Eigenwerte. Ich suche nach einer darstellungstheoretischen Erklärung, warum wir im unendlichdimensionalen Fall nur ganzzahlige Werte erhalten. Der Hilbert-Raum quadratisch integrierbarer Funktionen ist unendlich dimensional, daher unsere Darstellung von SO ( 3 ) muss unendlich dimensional sein.
Nein. Der Hilbert-Raum ist stark reduzierbar und zerfällt in eine direkte Summe endlichdimensionaler (in einigen Fällen sehr großer) Darstellungen. @ValterMoretti hat gerade geantwortet, als ich meinen Kommentar geschrieben habe.
Wäre Mathematik ein besseres Zuhause für diese Frage?

Antworten (1)

Seit S Ö ( 3 ) Kompakt ist im Hinblick auf den Satz von Peter-Weyl jede unitäre stark stetige Darstellung S Ö ( 3 ) in einem Hilbert-Raum ist eine direkte Summe (kein direktes Integral) von endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen, die wiederum endlichdimensionale Darstellungen von sind S U ( 2 ) . Also, sobald Sie alle endlichdimensionalen kennen S U ( 2 ) Darstellungen wissen Sie alles.

Du bist mir gerade zuvorgekommen..
Entschuldigung ... es passiert :)
Keine große Sache. Bleib 'gesund!
@ValterMoretti Ich verstehe das, aber es erklärt immer noch nicht, warum wir bei der Darstellung nur ganzzahlige Eigenwerte sehen SO ( 2 ) An L 2 ( R 3 ) . Ich habe jedoch gerade eine Erklärung gefunden, warum dies so ist, dass ich es als Update posten werde.
@JacksonBurzynski, bitte tu es!
Ich verstehe das Problem nicht gut. Fragst du warum J k konstruierte Orts- und Impulsoperatoren führen nur zu ganzzahligen Eigenwerten?
@ValterMoretti Ich suchte nach einer darstellungstheoretischen Erklärung. Siehe meine Bearbeitung für die Erklärung.
Was ist der Unterschied zwischen "stark kontinuierlich", wie Sie sagen, und "kontinuierlich"?
Es gibt drei relevante Topologien, die sich mit Operatoren in Hilbert-Räumen befassen (eigentlich sieben, aber die relevantesten sind die folgenden drei Kacheln) und insbesondere für eine Darstellung G ∋ G ↦ U G Wo G ist eine topologische Gruppe und jede U G ist ein beschränkter Operator auf einem festen Hilbertraum H . Einheitliche Kontinuität | | U G − U F | | → 0 als G → F , starke Kontinuität U G ψ − U F ψ → 0 als G → F für jeden ψ ∈ H ,
und schwache Kontinuität ⟨ ψ | U G ϕ ⟩ → ⟨ ψ | U F ϕ ⟩ als F → G für alle ψ , ϕ ∈ H . Wenn die Darstellung aus unitären Operatoren besteht, sind starke und schwache Stetigkeit äquivalent. Wenn H endlichdimensional ist, sind alle Begriffe äquivalent.
Kontinuierlich ist generisch. In der Darstellungstheorie (auch auf Banachräumen) bedeutet stetig stetig stark stetig. Gleichmäßige Kontinuität ist für physikalische Anwendungen zu stark, da sie impliziert, dass die Erzeuger einheitlicher Darstellungen für Lie-Gruppen auf dem gesamten Hilbert-Raum begrenzt und definiert sind, und es ist eine unglaublich starke Anforderung in Anwendungen für Quantentheorien, wo die Erzeuger normalerweise unbeschränkt sind. adjungierte Operatoren.
Unendliche dimensionale Darstellungen von SO(3)SO(3)\text{SO}(3)
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v