Vielfachheit der Eigenwerte des Drehimpulses

Ich finde$2k_2 + 1$ist richtig. Wenn Sie die Paare von aufschreiben$k_{1z}$Und$k_{2z}$sie sind:

• ($k_1 - 1$,$-k_2$)
• ($k_1 - 2$,$-k_2 + 1$)
• usw
• ($k_1 - 2k_2$,$k_2 - 1$)
• ($k_1 - (2k_2+1)$,$k_2$)

So das ist$2k_2+1$von ihnen.

                     m_2 ^     ^  M=m_1+m_2
                         |    /
                     \   |   /
 k_2 -----------------------------------------  
     |                 \ | /                 |
     |                  \|/                  |
-----------------------------------------------------> m_1
     |                  /|\                  |
     |                 / | \                 |
-k_2 ----------------------------------------- 
    -k_1             /   |   \               k_1 
                    /    |    v   M=m_1-m_2   

$\uparrow$Abb. 1. Ein Rechteck aus Eigenwerten$(m_1,m_2)$.

Ich lasse$k_1$Und$k_2$nicht negative Halbzahlen oder ganze Zahlen sein. Das Buch zählt im Grunde ein ganzzahliges Gitter

$$(\mathbb{Z}+k_1) \times (\mathbb{Z}+k_2)$$

von$(2k_1+1) \times (2k_2+1)$Punkte sitzen in a$2k_1 \times 2k_2$Rechteck unter Verwendung von "Lichtkegel"-Koordinaten

$$M ~=~ m_1+m_2,$$ $$\Delta ~=~ m_1-m_2,$$

die gekippt sind$45^{\circ}$. (Entschuldigung, das ASCII-Diagramm (Abb. 1) gibt den Winkel nicht wieder$45^{\circ}$Also. Annehmen$\hbar=1$.)

Eine Multiplizitätsformel für die Gitterpunkte innerhalb des Rechtecks ​​ist

$$\tag{1} {\rm mult}(M) ~=~ 1 + k_1 + k_2 - \max(|M|,|k_1 - k_2|)$$

als Funktion der Variablen

$$M\in(\mathbb{Z}+k_1+k_2) \cap [ -k_1-k_2,k_1+k_2].$$

Die Funktion (1) hat einen trapezförmigen Graphen:

                      ^ mult(M)
                      |
            /---------|---------\   1 + k_1 + k_2 - |k_1 - k_2|
           /|         |         |\
          / |         |         | \
         /  |         |         |  \
      --|---|---------|---------|---|--------> M
 -k_1-k_2   |         |         |  k_1+k_2  
            |         |         |  
       -|k_1-k_2 |          |k_1-k_2 |

$\uparrow$Abb. 2. Vielfalt${\rm mult}(M)$als Funktion von$M$.

II) Gruppentheoretisch ist es wichtig, die Clebsch-Gordan-Fusionsregel zu kennen

$$\tag{2} \underline{2k_1+1} \otimes \underline{2k_2+1} ~=~ \oplus_{K=|k_1-k_2|}^{k_1+k_2} \underline{2K+1}$$

in Bezug auf irreps. Hier$\underline{1}$,$\underline{2}$,$\underline{3}$,$\ldots$, beziehen sich auf Singulett-Irrep, Dublett-Irrep, Triplett-Irrep,$\ldots$, bzw. Es ist eine schöne Übung zu überprüfen, ob die Maße auf der rechten und linken Seite von (2) übereinstimmen. Siehe auch diese Phys.SE-Frage.