Was sagt uns die Addition von Winkelmomenten über die Gruppentheorie?

Es ist eigentlich alles elementare Gruppendarstellungstheorie, aber Dirac, ein Mathematik-Major am College, hat 3 Generationen von uns Physikern verwöhnt, indem er es in seinem Buch zu einfach und kochbuchhaft gemacht hat, insofern, als Griffiths Text diese mathematische Grundstruktur als Nebensache beschreibt Formalität...

Wikipedia sagt es am besten : Die Spin-/Winkelimpuls-Operatoren wirken auf Zustände und drehen sie auf eine Weise zueinander, die wesentliche Merkmale der Theorie invariant hält, da der Hamilton-Operator in Bezug auf sie symmetrisch ist – er pendelt mit ihnen. Sie gehorchen 3 Kommutierungsbeziehungen, die in praktischere "Leiter"-Grundlagen umgeschrieben werden können.

Ein Spin-Teilchen$s_1$von solchen Betreibern betrieben wird, in einem$(2s_1+1)$-dimensionaler Raum. Ein weiteres Spin-Teilchen$s_2$von solchen Betreibern betrieben wird, in einem$(2s_2+1)$-dimensional ein. Aber die unterschiedlich großen Matrizen, die auf diese Räume wirken, gehorchen denselben Vertauschungsbeziehungen , das heißt, sie sind unterschiedliche Darstellungen derselben Gruppe (hier SO(3), aber keine Sorge).

Wenn zwei solche Komponenten zusammengesetzt ("hinzugefügt") werden, leben sie in einem "Tensorproduktraum" der Dimension$(2s_1+1)\times (2s_2+1)$, und die erhabene mathematische Tatsache, die dieser Komposition zugrunde liegt, ist, dass die zusammengesetzten Operatoren, die auf beide Räume wirken, genau denselben Drehimpuls-Kommutationsbeziehungen gehorchen (ihr Koprodukt gehorcht derselben Lie-Algebra, in Mathematik).

Als Ergebnis sind die "Gesamtdrehimpulsoperatoren" in an$(2s_1+1)(2s_2+1)$-dimensionale Darstellung, das heißt, sie sind$(2s_1+1) (2s_2+1)\times (2s_1+1)(2s_2+1)$Matrizen. Diese Matrizen sind jedoch "reduzierbar", d. h. sie werden durch Ähnlichkeitstransformationen geeignet transformiert, sie zerfallen in disjunkte Blöcke, die nicht miteinander "reden" ... sie können niemals Zustände verbinden, auf die ein Block mit Zuständen einwirkt ein weiterer Block. Jeder dieser Blöcke ist somit disjunkt, und wir sagen, die reduzierbare zusammengesetzte Darstellung ist in eine direkte Summe irreduzibler (die Blöcke) zerfallen ... das ist die Clebsch-Gordan-Reihe.

Um dies an Ihrem Beispiel zu veranschaulichen,$s_1=s_2=1/2$, wenn Sie die beiden "addieren", (Kronecker multipliziert die beiden Dubletten, in Mathematik,${\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4}$: diese Jungs schreiben die Dimensionalität der Vektorräume lieber fett). Aber wie Sie aus Ihrer CG-Erweiterung gelernt haben, spricht das Triplett nicht mit dem Singulett - sie leben sozusagen auf verschiedenen alternativen Welten (im Mathematiker ist das Quartett reduzierbar,${\bf 4}={\bf 3}\oplus {\bf 1}$). In diesem Fall ist das effektive s der reduzierten Multipletts die Summe oder die Differenz der beiden s s der Eingangsmultipletts.

Im Allgemeinen kann es eine Menge komplizierter Dinge sein ... ZB laut Wikipedia addieren sich drei Drehungen 1/2 zu einer Drehung 3/2 und zwei Drehungen 1/2,${\bf 2}\otimes{\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4} \oplus{\bf 2}\oplus{\bf 2}$; oder ein Spin 2, der mit einem Spin 1 zusammengesetzt ist, ergibt die Spins 3, 2 und eins, (${\bf 5}\otimes{\bf 3}={\bf 7} \oplus{\bf 5}\oplus{\bf 3}$in Mathematik, im Einklang mit den QM-Lehrbuchregeln.)

Wenn Sie wirklich neugierig sind , wie solche Reduktionen in der Matrixdarstellung funktionieren, ziehen Sie es in Betracht, Problem 4 von my Some notes of mine durchzuarbeiten . Kapitel 16 des klassischen Textes von Mathews & Walker , angeblich von einem jungen Sidney Coleman geschrieben, enthält 95 % der Lie-Gruppentheorie, die ein Physiker brauchen würde.