Direkte Summendarstellung mehrerer Teilchen in der Quantenmechanik

Question

Direkte Summendarstellung mehrerer Teilchen in der Quantenmechanik

Loonuh

Angenommen, ich habe drei nicht wechselwirkende Spin-1/2-Teilchen, so dass ich das kombinierte System in einer Basis von darstellen kann

\begin{aligned} D_{1}^{(1 / 2)} \otimes D_{2}^{(1 / 2)} \otimes D_{3}^{(1 / 2)} & = (D_{12}^{(1)} \oplus D_{12}^{(0)}) \otimes D_{3}^{(1 / 2)} \\ = (D_{12}^{(1)} \otimes D_{3}^{(1 / 2)}) \oplus (D_{12}^{(0)} \otimes D_{3}^{(1 / 2)}) \\ = D_{123}^{(3 / 2)} \oplus D_{123}^{(1 / 2)} \oplus D_{123}^{(1 / 2)} . \end{aligned}

$\begin{align} D^{(1/2)}_1 \otimes D^{(1/2)}_2 \otimes D^{(1/2)}_3 & =\left(D^{(1)}_{12} \oplus D^{(0)}_{12}\right)\otimes D^{(1/2)}_3 \\ & = \left(D^{(1)}_{12} \otimes D^{(1/2)}_3\right) \oplus \left(D^{(0)}_{12} \otimes D^{(1/2)}_3\right) \\ & =D^{(3/2)}_{123} \oplus D^{(1/2)}_{123} \oplus D^{(1/2)}_{123}. \end{align}$

Wie berechnet man dann bei einem bestimmten Hamilton-Operator die Energieeigenwerte unter Verwendung dieser gruppentheoretischen Darstellung der Basis des Systems?

Wie unterscheidet man außerdem zwischen wiederkehrenden Begriffen in der gruppentheoretischen Darstellung? Es gibt zum Beispiel zwei

D_{123}^{(1 / 2)}

$D^{(1/2)}_{123}$ Bedingungen oben. Was bedeutet das physikalisch?

geniert

Es ist nicht ganz klar, was die

D_{i}^{(1 / 2)}

$D_i^{(1/2)}$ Sind; Sind das die Hilbert-Räume, in denen die Teilchen leben? Wenn jedoch der Hamilton-Operator die direkte Summe einzelner nicht-wechselwirkender Hamilton-Operatoren ist, sind die entsprechenden Eigenwerte immer die Summe der einzelnen Hamilton-Operatoren.

Loonuh

Ja, das sind die Hilbert-Räume, in denen die Teilchen leben. Wie verhält sich diese Darstellung über die direkten Summen zum Hamiltonoperator?

geniert

Der Hamiltonoperator muss angegeben werden, er kann nicht abgeleitet werden (tatsächlich können verschiedene Hamiltonoperatoren denselben Darstellungen entsprechen).

Emilio Pisanty

Eng verwandt: Hinzufügen von 3 Elektronenspins . Es stellt sich heraus, dass es viel schwieriger ist, Basen für die zu finden

D_{123}^{(1 / 2)}

$D^{(1/2)}_{123}$ Faktoren, die die Elektronenaustauschsymmetrie vollständig respektieren, als man denkt.

Kosmas Zachos

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Antworten (1)

Direkte Summendarstellung mehrerer Teilchen in der Quantenmechanik

Es ist nicht ganz klar, was die $D_i^{(1/2)}$ Sind; Sind das die Hilbert-Räume, in denen die Teilchen leben? Wenn jedoch der Hamilton-Operator die direkte Summe einzelner nicht-wechselwirkender Hamilton-Operatoren ist, sind die entsprechenden Eigenwerte immer die Summe der einzelnen Hamilton-Operatoren.
Ja, das sind die Hilbert-Räume, in denen die Teilchen leben. Wie verhält sich diese Darstellung über die direkten Summen zum Hamiltonoperator?
Der Hamiltonoperator muss angegeben werden, er kann nicht abgeleitet werden (tatsächlich können verschiedene Hamiltonoperatoren denselben Darstellungen entsprechen).
Eng verwandt: Hinzufügen von 3 Elektronenspins . Es stellt sich heraus, dass es viel schwieriger ist, Basen für die zu finden $D^{(1/2)}_{123}$ Faktoren, die die Elektronenaustauschsymmetrie vollständig respektieren, als man denkt.

ZeroTheHero · Answer 1

Wenn die Teilchen nicht interagieren, verwenden Sie die entkoppelte Basis, bei der Zustände direkte Produkte sind

| \frac{1}{2} M_{1} ⟩ | \frac{1}{2} M_{2} ⟩ | \frac{1}{2} M_{3} ⟩

$\vert \textstyle\frac{1}{2} m_1\rangle \vert \textstyle\frac{1}{2} m_2\rangle \vert \textstyle\frac{1}{2} m_3\rangle$ oder die gekoppelte Basis

| \frac{1}{2} M; (J_{1} J_{2}) J_{12} J_{3} ⟩, | \frac{3}{2} M ⟩

$\vert \textstyle\frac{1}{2}M;(j_1j_2)j_{12}j_3\rangle\, ,\qquad \vert \textstyle\frac{3}{2}M\rangle$ mit

j_{12} = 0, 1

$j_{12}=0,1$ , macht keinen Unterschied.

Einmal kann man die beiden nicht unterscheiden $j=\textstyle\frac{1}{2}$ allein unter Verwendung von Drehimpulsargumenten , dh durch Drehen der Zustände oder Verwenden $\hat L_\pm$ Und $\hat L_z$ .

Natürlich ist es möglich, die Kopien mit Operationen zu trennen, die nicht mit Drehungen zusammenhängen, und in diesem speziellen Fall sind diese Operationen diejenigen der Permutationsgruppe. Insbesondere die Staaten mit $j_{12}=0$ wird unter Permutation des ersten und zweiten Teilchens antisymmetrisch sein, während die Zustände mit $j_{12}=1$ unter solchen Permutationen symmetrisch sein. Bei anderen Permutationen transformieren die Zustände einen in eine lineare Kombination der beiden.

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Kosmas Zachos

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ZeroTheHero

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