Der Eigenraum ist ein Irrep der Symmetriegruppe

Eines der Probleme mit dem informellen Casual-Stil von Ref. 1 ist, dass es schwierig ist, genaue Aussagen zu extrahieren. Ref. 1 macht mehrere ungenaue oder sogar falsche Aussagen, weil Kontext und Annahmen aus dem entsprechenden Absatz fehlen.

1. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Hilbertraum$V$des Systems ist endlichdimensional, und überlasse es dem Leser, auf unendlichdimensionale Hilbert-Räume zu verallgemeinern.

2. Lassen$H\in{\rm End}(V)$ein linearer diagonalisierbarer Operator sein$V$.

3. Lassen

   $$V_{\lambda}~:=~{\rm ker} (H-\lambda {\bf 1}_V)~\subseteq~V$$ Sei ein Eigenraum für$H$; Wo$\lambda\in \mathbb{C}$.

4. Lassen

   $$G~:=~GL(V)\cap \underbrace{{\rm span}(H)^{\prime}}_{\text{commutant}} ~\subseteq~ {\rm End}(V)$$ sei die Menge der invertierbaren Operatoren, die mit pendeln$H$.

5. Dann lässt sich das leicht überprüfen$G$ist eine Gruppe und so$V_{\lambda}$ist eine Darstellung von$G$(oder einer seiner Untergruppen). Da hat OP recht$V_{\lambda}$muss keine irreduzible Darstellung sein .

Verweise:

1. A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, p. 163-164.

Ein Eigenraum des Hamilton-Operators ist nicht nur ein Repräsentant der Symmetriegruppe G, sondern auch ein gemeinsamer Eigenraum für einen vollständigen Satz von Observablen/Symmetriegeneratoren$\Omega$.

Angenommen, ein Eigenraum des Hamilton-Operators ist kein Irrep von$G$, sondern eine direkte Summe zweier unterschiedlicher Irreps$A$Und$B$. Wenn$\Pi_A$Und$\Pi_B$entsprechende Unterraumprojektoren sind, ist es immer möglich, ein Observable zu definieren$O = \lambda_A \Pi_A + \lambda_B \Pi_B$deren Eigenwerte unterscheiden$A$Und$B$, und die notwendigerweise mit dem Hamilton-Operator kommutiert, mit dem vollständigen Satz$\Omega$, und mit allen Transformationen in$G$. Aber dann$\Omega$allein ist kein vollständiger Satz von Observablen/Symmetriegeneratoren mehr. Das komplette Set muss nun enthalten$O$und der ursprüngliche Eigenraum spaltet sich in unterschiedliche Eigenräume A und B auf, jeder ein Irrep der erweiterten Symmetriegruppe usw.