Wie hängt die Symmetrie mit der Entartung zusammen?

Bevor ich ins Detail gehe, möchte ich bildhaft beschreiben, wie der Hamiltonoperator, die Symmetriegruppe und die dynamische Gruppe in einer Basis aussehen, in der der Hamiltonoperator diagonal ist.

Hamiltonian

$$H = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \mathbf{1} \end{bmatrix} & & & \\ & \begin{bmatrix} \lambda_2 \mathbf{1} \end{bmatrix} & & \\ & &\begin{bmatrix} \lambda_2 \mathbf{1} \end{bmatrix} & \\ & & &\begin{bmatrix} \lambda_3 \mathbf{1} \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix}$$

Symmetriegruppe

$$g = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix}& & & \\ & \begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix}& & \\ & & \begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix} & \\ & & &\begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix}$$

Eine dynamische Gruppe

$$g = \begin{bmatrix} & \blacksquare & & \\ & & \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare \\ \end{bmatrix} & \\ & & &\blacksquare \\ \end{bmatrix}$$

Vollständige dynamische Gruppe

$$g= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \end{bmatrix} \end{bmatrix}$$ Wobei die schwarzen Quadrate vollständige Untermatrizen bedeuten und eckige Klammern irreduzible Darstellungen bedeuten.

Natürlich kann der vollständige Hilbert-Raum unendlich dimensional sein; die Figuren erfassen nur den konzeptionellen Rahmen.

Die Symmetriegruppe ist definiert als die Gruppe, die von allen Observablen (im Wesentlichen selbstadjungierten Operatoren) erzeugt wird, die mit dem Hamilton-Operator pendeln. Die Erzeuger der Symmetriegruppe sind Bewegungskonstanten. Die Symmetriegruppe kann keine Räume mit unterschiedlichen Eigenwerten des Hamiltonoperators mischen. Er muss also bezüglich der Hamiltonschen Eigenräume blockdiagonal sein.

Bitte beachten Sie, dass es im dargestellten Beispiel zwei Unterräume von Eigenwerten gibt$\lambda_2$, so dass auf jedem Unterraum die Symmetriegruppe irreduzibel wirkt. Dies ist ein Fall von zufälliger Entartung. Zusammenfassend ist die erste Frage positiv zu beantworten, wenn keine akzidentelle Entartung vorliegt und negativ, wenn eine akzidentelle Entartung vorliegt.

Die Antwort auf die zweite Frage ist im Fall einer endlichen oder kompakten Gruppe positiv$G$Wirkung auf den Hilbertraum. In diesen Fällen aufgrund des Vorhandenseins einer Haar-Maßnahme$d\mu(g) ($, wir können jedes innere Produkt nehmen$(.,.)_0$auf dem Hilbert-Raum und mitteln ihn, um ein invariantes inneres Produkt zu erhalten$(.,.)$. Dies wird als Weyl-Unitaritätstrick bezeichnet. Ausdrücklich:

$$(u,v)^G = \int_G d\mu(g) (g \small{\circ} u,g \small{\circ} v)$$

aufgrund der Translationsinvarianz des Haar-Maßes. Daher

$$(g_1 \small{\circ} u,g_1 \small{\circ} v)^G = (u,v)^G, \; g_1 \in G$$

Als Konsequenz die$G$Aktion kann entweder einheitlich oder anti-einheitlich sein. Wenn$G$eine verbundene kontinuierliche Gruppe ist, dann gibt es einen Pfad, der jedes Element mit der Identität verbindet (die durch einen einheitlichen Operator dargestellt werden muss), und eine diskrete Eigenschaft kann sich nicht kontinuierlich ändern, dann muss das Gruppenelement durch einen einheitlichen Operator wirken.

Eine dynamische Gruppe ist eine Gruppe, die von den Observablen des Systems erzeugt wird und das gesamte Hamiltonsche Spektrum unter einer einzigen einheitlichen irreduziblen Darstellung hat. Insbesondere eine dynamische Gruppe löst zufällige Entartungen auf.

Eine dynamische Gruppe, wie in der dritten Abbildung dargestellt. Es hat nicht verschwindende Matrixelemente zwischen zwei entarteten Darstellungen der Symmetriegruppe. Auf diese Weise werden wir in der Lage sein, die entarteten Vektoren des Hamilton-Operators durch Quantenzahlen einer einzigen irreduziblen Darstellung der dynamischen Gruppe zu klassifizieren. Somit kann eine wie in der dritten Abbildung wirkende dynamische Gruppe verwendet werden, um die entarteten Unterräume einer zufälligen Entartung zu kennzeichnen. Natürlich kann es in anderen Sektoren des Hilbert-Raums mehr zufällige Entartungen geben, daher wird eine vollständige dynamische Gruppe definiert, wie in Abbildung (4) dargestellt.

Eigentlich erfordert eine genauere Definition der dynamischen Gruppe eine Behandlung des Systems auf der klassischen Ebene. Einzelheiten entnehmen Sie bitte der folgenden These von SG Bartlett. Die spektrumerzeugende Algebra ist eine Algebra, die durch Funktionen erzeugt wird, die Punkte auf dem klassischen Phasenraum trennen. Die dynamische Gruppe ist eine entsprechende Lie-Gruppe. Der klassische Phasenraum wird zu einem koadjungierten Orbit der dynamischen Gruppe. Ein Beispiel ist die 2-Sphäre