Quantensymmetrien, die nicht durch Gruppen beschrieben werden

Ich denke, die Autoren beziehen sich auf Quantengruppen, die sich auf Lie-Gruppen beziehen, wie es die nichtkommutative Geometrie auf Mannigfaltigkeiten ist, daher die vagen Behauptungen über die Quantennichtkommutativität.

Manchmal findet man QFTs, deren Hilbert-Räume Darstellungen von Quantengruppen sind (indem die Quantengruppe innerhalb der Algebra der Operatoren realisiert wird). Zu wissen, dass ein Hilbert-Raum eine Quantengruppendarstellung ist, hat viele der gleichen praktischen Konsequenzen wie das Wissen, dass der Hilbert-Raum eine Lie-Gruppendarstellung ist: Sie können in Irreps zerlegen, innere Produkte einschränken und so weiter. (Am Ende ist das alles nur lineare Algebra.) Aus diesem Grund werden die Leute manchmal poetisch und sagen, dass eine Quantengruppenaktion eine Symmetrie ist, die nicht von einer Gruppe kommt.

Ich kann die Behauptung nicht nachvollziehen. Tatsächlich ist jede Quantensymmetrie (su) das Element einer Gruppe oder besser das Abbild der Repräsentation einer Gruppe. Aufgrund des Wigner-Kadison-Theorems wird die Symmetrie durch einen unitären oder einen anti-unitären Operator dargestellt$U$. (Diese Tatsache gilt auch in Gegenwart von Superselektionsregeln). Als nächstes definieren$G$als Untergruppe generiert von$I$,$U$,$U^{-1}$in der Gruppe der isometrischen surjektiven linearen und antilinearen Abbildungen im Hilbert-Raum des Systems.$U$ist also das Bild durch eine (triviale) Darstellung eines Elements aus$G$. Da die Gruppe definiert ist durch$U$selbst gibt es keine Probleme mit Phasen und Multiplikatoren und die Darstellung ist einheitlich statt projektiv. Offensichtlich ist die Symmetrie im Allgemeinen nicht Teil einer kontinuierlichen Symmetriegruppe. Wie auch immer, wenn$U$einheitlich ist, ist es immer möglich, über die Spektraltheorie zu schreiben$U= e^{-iA}$für einen selbstadjungierten Operator$A$. Deshalb$U=V (t)$für$t=1$, und wo$V (t)$ist die Ein-Parameter-Gruppe, die von generiert wird$A$. In diesem Fall$G$kann als eindimensionale Lie-Gruppe neu definiert werden (unter Verwendung des MGZ-Theorems zur Definition einer Lie-Gruppenstruktur) und$\{V(t)\}_{t \in \mathbb R}$ist eine stark kontinuierliche Darstellung dieser Lie-Gruppe. Offensichtlich die physikalische Bedeutung von$A$ist zweifelhaft, da die Konstruktion ziemlich künstlich ist.

NACHTRAG . Vielleicht liegt das Problem im Begriff der Quantensymmetrie . Es ist nicht klar, was die Autoren mit Quantensymmetrie meinen .

Allerdings gibt es in der Literatur drei Begriffe der (Quanten-)Symmetrie eines Quantensystems, das in einem komplexen trennbaren Hilbert-Raum beschrieben wird.

NB: Ich beziehe mich hier auf den allgemeinen Begriff der Quantensymmetrie und nicht auf die dynamische Quantensymmetrie (verwendet zum Beispiel in der Aussage der Quantenversion des Noether-Theorems).

Wigner-Symmetrie : Eine surjektive Abbildung, die Strahlen des Hilbert-Raums in Strahlen des Hilbert-Raums umwandelt, wobei die Wahrscheinlichkeitsamplituden erhalten bleiben.

Kadison-Symmetrie : ein Automorphismus des Gitters orthogonaler Projektoren des Hilbert-Raums (die die elementaren JA-NEIN-Observablen des Quantensystems darstellen) oder äquivalent eine bijektive konvex-lineare Abbildung aus dem konvexen Körper von (im Allgemeinen gemischten) Zuständen in sich .

Jordan-Symmetrie : eine bijektive Abbildung aus der nicht-assoziativen Jordan-Algebra von beschränkten selbstadjungierten Operatoren in sich selbst.

In Ermangelung von Superauswahlregeln fallen die drei Begriffe zusammen und führen zu derselben mathematischen Aussage: Symmetrien bestehen alle aus unitären oder anti-unitären Operatoren, und die Entsprechung ist bis zu einer beliebigen Phase eins zu eins.

In Gegenwart von Superselektionsregeln, die durch zentrale Projektoren der von Neumann-Algebra von Observablen beschrieben werden (unter der Annahme, dass das Zentrum des Gitters atomar ist), ist das Bild im Wesentlichen identisch, aber die Phasen können vom Superselektionssektor abhängen.

Bei Vorhandensein einer Eichgruppe (die Algebra der Observablen in jedem Superselektionssektor ist ein nicht maximaler Faktor) die Operatoren$U$sind bis auf Elemente des Kommutanten der von Neumann-Algebra definiert, aber ich bin mir nicht sicher, ob jede Symmetrie auf diese Weise beschrieben werden kann und ob die drei Symmetriebegriffe noch übereinstimmen.

Die Passage erscheint unsinnig. Nach dem Satz von Wigner kann jede Quantensymmetrie durch (anti-)einheitliche Operatoren auf dem Hilbert-Zustandsraum dargestellt werden, und einheitliche Operatoren haben Inverse, die notwendigerweise auch Symmetrien sind, sodass alle Symmetrien Untergruppen der einheitlichen Gruppe bilden. Der Hilbert-Raum der Quantenmechanik verhält sich nicht wirklich anders als der Konfigurationsraum der klassischen Mechanik.

Es kann aber durchaus sein, dass die Autoren hier auf etwas anderes abzielen: Bei gegebener abstrakter Gruppe von Symmetrien muss die Darstellung als unitäre Operatoren eigentlich keine gewöhnliche lineare Darstellung der abstrakten Gruppe sein, sondern darf projektiv sein, wie I diskutieren ausführlich in diesem Q&A von mir .