Galilean, SE(3), Poincare-Gruppen – zentrale Erweiterung

Es gibt 3 Wirkungen der Galileischen Gruppe auf das freie Teilchen: auf den Konfigurationsraum, auf den Phasenraum und auf den Quantenzustandsraum (Wellenfunktionen). Die Galileische Lie-Algebra wird auf dem Konfigurationsraum durch Vektorfelder getreu realisiert, aber ihre erhobene Wirkung auf die Poisson-Algebra von Funktionen auf die Phasenfolge und auf die Wellenfunktionen (mittels Differentialoperatoren) ist die zentrale Erweiterung der Galileischen Algebra , bekannt als Bargmann-Algebra, bei der der Kommutator von Boosts und Impulsen proportional zur Masse ist. Die Begründung findet sich in den folgenden Argumenten

1) Die Aktion auf dem Konfigurationsraum:$Q = \{x^1, x^2, x^3, t\}$:

Hier wirken die Übersetzungen und die Boost-Operatoren als Vektorfelder und ihr Kommutator ist Null:

Übersetzung:$x^i \rightarrow x^i+c^i$, Vektor erzeugen$P_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$

Schub:$x^i \rightarrow x^i+v^i t$, Vektor erzeugen$G_i = t \frac{\partial}{\partial x^i}$

Dies ist eine treue Aktion der galiläischen Gruppe:$[P_i, G_j] = 0$.

2) Die angehobene Galilei-Aktion in den Phasenraum$Q = \{x^1, x^2, x^3, p_1, p_2, p_3\}$

Die Bedeutung des Aufhebens der Aktion besteht darin, tatsächlich die Lagrange-Funktion zu schreiben und die Noether-Ladungen der obigen Symmetrie zu finden: Die Ladungen als Funktionen im Phasenraum erzeugen die zentral erweiterte Version der Gruppe. Durch Anwendung des Noether-Theorems erhalten wir die folgenden Ausdrücke der Noether-Ladungen:

Übersetzung:$P_i = p_i$

Schub:$G_i = P_i t - m x^i$.

Die kanonischen Poisson-Klammern at$t=0$(weil der Phasenraum der Raum der Anfangsdaten ist):$\{P_i, G_j\} = m \delta_{ij}$

Der Grund dafür, dass die aufgehobene Aktion eine zentrale Erweiterung ist, liegt darin, dass die Poisson-Algebra einer Mannigfaltigkeit selbst eine zentrale Erweiterung des Raums der Hamiltonschen Vektorfelder ist,

$$0\rightarrow \mathbb{R}\overset{i}{\rightarrow} C^{\infty}(M)\overset{X}{\rightarrow} \mathrm{Ham}(M)\rightarrow 0$$

Wo die Karte$X$erzeugt ein Hamilton-Vektorfeld aus einem gegebenen Hamilton-Operator:

$$X_H = \omega^{ij}\partial_{j}H$$

($\omega$ist die symplektische Form. Die genaue Sequenz zeigt einfach an, dass die Hamiltonschen Vektorfelder konstanter Funktionen alle Null sind).

Wenn also die Lie-Algebra eine nichttriviale zentrale Erweiterung zulässt, kann sich diese Erweiterung in der Poisson-Klammer materialisieren (das Ergebnis einer Poisson-Klammer kann eine konstante Funktion sein).

3) Dass die Wirkung auch erweitert wird, liegt daran, dass in der Quantenmechanik die Wellenfunktionen Abschnitte eines Linienbündels über der Konfigurationsmannigfaltigkeit sind. Ein Leitungsbündel selbst ist a$\mathbb{C}$über den Verteiler bündeln:

$$0\rightarrow \mathbb{C}\overset{i}{\rightarrow} \mathcal{L}\overset{\pi}{\rightarrow} M\rightarrow 0$$

somit würde man eine Verlängerung in der aufgehobenen Gruppenklage erwarten. Linienbündel können bei einer gegebenen Transformation eine nichttriviale Phase annehmen. Im Fall der Boosts ist die Schrödinger-Gleichung unter Boosts nicht invariant, es sei denn, die Wellenfunktionstransformation hat die Form:

$$\psi(x) \rightarrow \psi'(x) = e^{\frac{im}{\hbar}(vx+\frac{1}{2}v^2t)}\psi(x+vt)$$

Die unendlich kleinen Boost-Generatoren:

$$\hat{G}_i = im x_i + \hbar t \frac{\partial}{\partial x_i}$$

Also bei$t=0$, wir bekommen:$[\hat{G}_i, \hat{P}_j] = -im \hbar\delta_{ij}$

Zusammenfassend ist also die Wirkung der Galileischen Gruppe auf den Konfigurationsraum des freien Teilchens nicht erweitert, während die Wirkung auf den Phasenraum Poisson-Algebra und das Quantenlinienbündel nicht trivial zentral erweitert ist.

Die Klassifizierung von Gruppeneinwirkungen auf Leitungsbündel und zentrale Nebenstellen kann mittels Lie-Gruppen- und Lie-Algebra-Kohomologie durchgeführt werden . Eine gute Referenz zu diesem Thema ist das Buch von Azcárraga und Izquierdo. Dieses Buch enthält eine detaillierte Behandlung der Kohomologie der Galileischen Algebra. Außerdem gibt es zwei lesenswerte Artikel von van Holten: ( first , second ).

Gruppenaktionen auf Linienbündeln (dh Quantenmechanik) werden von der ersten Lie-Gruppen-Kohomologiegruppe klassifiziert, während zentrale Erweiterungen von der zweiten Lie-Algebra-Kohomologiegruppe klassifiziert werden. Das Problem, zentrale Erweiterungen von Lie-Algebren zu finden, lässt sich auf eine handhabbare algebraische Konstruktion reduzieren. Man kann einen BRST-Operator bilden:

$$Q = c^i T_i + f_{ij}^k c^i c^j b_k$$

Woher$b$abd$c$sind antipendelnde konjugierte Variablen:$\{b_i, c_j \} = \delta_{ij}$.$T_i$sind die Lie-Algebra-Generatoren.

Es ist nicht schwer, das zu überprüfen$Q^2 = 0$

Wenn wir eine konstante Lösung für die Gleichung finden können$Q \Phi = 0$mit$\Phi = \phi_{i j} c^i c^j$

was in Komponenten folgende Form annimmt, haben wir

$$f_{[ij|}^k \phi_{k|l]} = 0$$

(Die Klammern in den Indizes bedeuten, dass die Indizes$i, j, l$sind antisymmetrisiert. Dann schließt die folgende zentrale Erweiterung:

$$[\hat{T}_i, \hat{T}_j] = i f_{ij}^{k} \hat{T}_k + \phi_{ij}\mathbf{1}$$

Die zweite Lie-Algebra-Kohomologiegruppe der Poincaré-Gruppe verschwindet, hat also keine nichttriviale zentrale Erweiterung. Ein Hinweis darauf ergibt sich aus der Tatsache, dass die relativistische Wirkung freier Teilchen unter Poincaré-Transformationen invariant ist. (Dies ist jedoch kein vollständiger Beweis, da es sich um eine bestimmte Realisierung handelt). Ein allgemeiner Satz in der Kohomologie der Lie-Algebra besagt, dass halbeinfache Lie-Algebren eine verschwindende zweite Kohomologiegruppe haben. Halbdirekte Produkte von Vektorräumen und halbeinfache Lie-Algebren haben ebenfalls eine verschwindende zweite Kohomologie, vorausgesetzt, es gibt keine unveränderlichen zwei Formen auf dem Vektorraum. Dies ist der Fall bei der Poincaré-Gruppe. Natürlich kann man den Sonderfall der Poincaré-Gruppe mit der oben beschriebenen BRST-Methode beweisen.

Die zentralen Erweiterungen werden durch die zweite Kohomologiegruppe klassifiziert: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_extension . Wenn diese Gruppe trivial ist, dann ist jede zentrale Erweiterung halbdirekt (und daher in gewissem Sinne trivial). Dies gilt insbesondere für die Poincare-Gruppe, nicht aber für die Galilei-Gruppe.

Wenn Sie jedoch ausgehend von der Poincare-Gruppe eine nichtrelativistische Grenze nehmen wollen, müssen Sie die nichtrelativistische Energie einführen$E= cp_0 -mc^2$, was nur in einer (trivialen) 11-dimensionalen zentralen Erweiterung der Poincare-Gruppe durch einen zentralen Erzeuger, die Masse, möglich ist$m$. In dieser Form können die Präsentationen der Poincare-Gruppe und der Galilei-Gruppe sehr ähnlich aussehen.