Was ist „gebrochene Symmetrie“?

Deine allgemeine Vorstellung ist richtig. Betrachten Sie als explizites Beispiel eine Feldtheorie von$n$Skalarfelder, die in ein platziert werden können$n$-Komponentenspaltenvektor$\phi$, mit Potenzial,$V(\phi)$. Nehmen Sie außerdem eine Symmetriegruppe an,$G$des Lagrange.

Das Potenzial$V(\phi)$hat eine Familie degenerierter Minima, die eine Mannigfaltigkeit bilden,$\mathcal M$. Nun, für eine Theorie mit einem Vakuum-Erwartungswert,$\phi_0$, wir erwarten$D(g)\phi_0$für eine angemessene Darstellung, für ein Element$g\in G$, um ein gültiges Minimum zu sein, wenn$\phi_0$ist ein Minimum.

jedoch, wenn$G$spontan in eine Untergruppe gebrochen wird ,$H$, dann erwarten wir das nur$D(h)\phi_0$zum$h\in H$um auch ein gültiges Minimum zu sein, eher als die vollständige Gruppe,$D(g)\phi_0$.

Deswegen,$D(gh)\phi_0 = D(g)\phi_0$und wir können Äquivalenzklassen dadurch definieren, dass$g_1 \sim g_2$dann und nur dann, wenn$g_2 = g_1 h$zum$h \in H$. Solche Äquivalenzklassen werden Sie als in der Nebenklasse enthalten erkennen,$G/H$.

Der Vakuumverteiler ist dann einfach,$\mathcal M = G/H$. Die globalen Eigenschaften von$\mathcal M$sind in der Physik besonders wichtig. Beispielsweise entstehen in drei räumlichen Dimensionen magnetische Monopole nur dann, wenn die Gruppe$\pi_2 (G/H)$ist nicht trivial.

Ihre zweite Frage, wie man vorgehen würde, um „diese Idee zu verwenden“, ist extrem weit gefasst; Spontane Symmetriebrechungen treten in fast allen Zweigen der mathematischen Physik auf.

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Anwendung

Spontane Symmetriebrechung kann als Mechanismus genutzt werden, um masselosen Feldern Masse zu verleihen, wie es beim Higgs-Mechanismus im Standardmodell der Fall ist.

Betrachten Sie als Beispiel eine$SO(3)$Eichtheorie mit drei reellen Skalaren,$\phi_i$, mit Lagrange,

$$\mathcal L = -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2 + \frac12(\partial_\mu \phi_i - ig A^a_\mu \tau^a_{ij}\phi_j)^2 + \frac12 m^2 \phi^2_i - \frac{\lambda}{4!}(\phi_i)^4.$$

Das Potenzial wird für minimiert$|\langle \vec \phi\rangle|^2 = v^2 = 6m^2/\lambda$. Durch eine$SO(3)$Transformation, wir können alle Komponenten auswählen$\vec \phi$zu verschwinden außer,$\langle \phi_3 \rangle = v$. Sie können das überprüfen$\langle \vec \phi \rangle$ist unveränderlich unter

$$H = SO(2) \subset G = SO(3).$$

$SO(2)$und$SO(3)$unterscheiden sich in der Anzahl der Generatoren um zwei, wodurch zwei Goldstone-Bosonen entstehen. Wir können die Lagrange-Funktion erweitern, um zu sehen,

$$\mathcal L = -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2 + \frac{1}{4}g^2 A^a_\mu A^b_\mu \vec{v}^T \{\tau^a, \tau^b\}\vec{v}$$

und Einfügen der expliziten Generatoren$\tau^a$findet man,

$$\mathcal L = -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2 + \frac12 m_A^2(A^1_\mu A^1_\mu + A^2_\mu A^2_\mu)$$

wo wir eine Masse identifiziert haben,$m_A^2 = g^2 v^2$. Somit finden wir, dass die Theorie ein masseloses Eichboson besitzt,$A^3$sowie zwei massive Eichbosonen,$A^{1,2}$. Denken Sie daran, wenn Sie einen mathematischen Hintergrund haben$A$als Verbindung, wobei Werte in der Lie-Algebra der Eichgruppe angenommen werden.

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Ein letztes Wort: Da Sie angeben, dass Ihre eigenen Interessen in Lie-Gruppen und glatten Mannigfaltigkeiten liegen, werden Sie, wenn Symmetriebrechung für Sie von Interesse ist, wahrscheinlich hauptsächlich Dinge wie Solitonen, Solitonenmodulräume und Vakuummannigfaltigkeiten und ein gutes Buch interessieren ist,

• J. Weinberg, Klassische Lösungen in der Quantenfeldtheorie , Cambridge University Press.