Satz von Noether mit Symmetriehalbgruppe statt Gruppe

Wie Lurscher sagt, sind Halbgruppen in der Physik nicht allzu interessant. Sie sind nicht wirklich "Symmetrien". Ein wichtiges physikalisches Beispiel für eine Halbgruppe in der Physik ist die (irreführend bezeichnete) „Renormierungsgruppe“, die es uns erlaubt, wirksame Gesetze für große Entfernungen aus den kurzen Entfernungen abzuleiten, aber dieses „Ausintegrieren“ oder „Ausfließen“ ist irreversibel – was Genau aus diesem Grund verdienen es die RG-Operationen, eher eine "Halbgruppe" als eine "Gruppe" zu bilden.

Was jedoch noch wichtiger ist, Sie sind völlig verwirrt über den Fall von Noethers Observable namens „Energie“.

Energie ist mit der Zeittranslationsinvarianz verbunden und ist eine Standardsymmetrie, ausgedrückt durch eine Gruppe und nicht "nur eine Halbgruppe". Diese Symmetrie besagt, dass sich die Gesetze der Physik nicht ändern, wenn die Ereignisse eintreten$t$Sekunden später. Sie änderten sich auch nicht, wenn die Prozesse auftraten$t$Minuten früher. Die Zeitübersetzungen gehen in beide Richtungen, sie können sowohl positiv als auch negativ sein, und sie sind immer Symmetrien.

Das hat nichts mit der Irreversibilität der Prozesse oder den mit dem Zeitpfeil verbundenen Asymmetrien zu tun.

Aber auch bei der Zeitumkehr liegst du eigentlich falsch. Sogar die Zeitumkehrsymmetrie, die eine Symmetrie der mikroskopischen Gesetze der Physik ist (wenn CP gilt; oder zumindest CPT ist universell eine solche Symmetrie), ist eine Symmetrie, und sie wird wiederum durch a ausgedrückt$Z_2$Gruppe. Es gibt nirgendwo in diesen raumzeitbezogenen Operationen eine Halbgruppe, die keine Gruppe ist!

Zurück dazu, warum "Halbgruppen" keine Symmetrien sind

Ganz allgemein können Objekte wie die Aktion unter Halbgruppen, die keine Gruppen sind, nicht symmetrisch sein. Das Beispiel der Renormierungsgruppe zeigt deutlich, was passiert, wenn die vermeintlichen Symmetrietransformationen irreversibel wären. Irreversibilität bedeutet immer, dass einige Informationen verloren gehen, sodass zwangsläufig die Beiträge zur Handlung aus den Freiheitsgraden, deren Informationen verloren gehen, unterdrückt werden, sodass die Handlung nicht konstant bleiben kann. Wenn man über die Renormierungsgruppenflüsse zu großen Entfernungen "fließt", "integriert" er tatsächlich die kürzesten Freiheitsgrade heraus, was bedeutet, dass sie in der neuen effektiven Theorie nicht angeregt werden können. Die Operation kann uns also keine Eins-zu-Eins-Karte für alle Zustände liefern, was, wie in den vorherigen Sätzen erklärt, für eine Symmetrie notwendig ist,

Hier ist ein Argument, warum "ein Noether-Theorem mit Lie-Monoid-Symmetrie" im Wesentlichen keine neuen Erhaltungssätze hervorbringen würde. Noethers (erster) Satz handelt eigentlich nicht von Lie-Gruppen, sondern nur von Lie-Algebren, dh man braucht eben$n$ infinitesimale Symmetrien abzuleiten$n$Erhaltungsgesetze. Wenn man nur daran interessiert ist, die zu bekommen$n$Erhaltungsgesetze eins nach dem anderen (und nicht so sehr daran interessiert, dass die$n$Erhaltungssätze bilden zusammen eine Darstellung der Lie-Algebra), dann kann man sich auf a konzentrieren$1$-dimensionale abelsche Symmetrieuntergruppe. Die entsprechende Lie-Unteralgebra wird dann gerecht$u(1)\cong\mathbb{R}$. Um nun auf die Frage zurückzukommen, kann man natürlich eine Lie-Gruppe künstlich in ein Lie-Monoid abschneiden, sagen wir, wenn$q$ist eine zyklische Variable für eine Lagrange-Funktion$L$, dann erklären wir künstlich, dass das Symmetriemonoid ist$q \to q + a$nur für nicht negative Übersetzungen$a\geq 0$, während alles Negative künstlich geleugnet wird$a<0$. Andererseits braucht man zumindest Zugriff "von einer Seite", weil es bei Noethers Theorem um kontinuierliche Symmetrie geht. Aber in der Praxis kann man dann immer noch, zumindest infinitesimal, auch auf „die andere Seite“ ausdehnen, und dann ist man wieder bei einem Standard$u(1)$Lügenalgebra und ein Standardsatz von Noether.

Das Hauptproblem bei Halbgruppen besteht darin, dass sie im Allgemeinen nicht umkehrbar sind, sodass es nicht gut auf den Begriff einer Symmetrie zutrifft, die sich nach einer Operation, die die Zustände ineinander umwandelt, gleich verhält