Warum reichen infinitesimale Verschiebungen aus, um zu beweisen, dass eine Symmetrie gilt?

Ich weiß nicht, wie diese Dinge in QFT aussehen, aber wenn Ihnen eine "klassische" Antwort ausreicht, dann sind hier einige Dinge:

• Zunächst müssen Sie uns sagen, was Sie mit "Symmetrie gilt" meinen. Für die Zwecke des Satzes von Noether benötigen Sie eine Lie-Algebra-Darstellung einer Lie-Algebra$\mathfrak g$auf dem Zielfeld$V$eines Feldes$\psi$(Hier betrachte ich ein Feld als eine Karte von der Raumzeit zu einem festen Zielraum - damit "globale" Symmetrien Sinn machen, muss das Feld ein Abschnitt eines trivialen Vektorbündels sein, also ist dies in Ordnung). Sie können Lie-Gruppen im Grunde vergessen, weil Noethers Theorem sich nicht um sie kümmert. Normalerweise haben Sie nur eine Lie-Gruppendarstellung im Zielraum, und der Satz von Noether gilt für die Tangentenkarte dieser Darstellung (z. B. die entsprechende Lie-Algebra-Darstellung).
• Die infinitesimale Invarianz impliziert eigentlich eine endliche Invarianz. Um die Ableitung zu vereinfachen, betrachten wir eine "Lagrange-Funktion", die nur vom Körper, nicht aber von den Körperableitungen abhängt. Dies ändert nichts an unseren Ergebnissen, sondern erleichtert lediglich die Berechnung. $$\\ $$ Lassen$\phi_\epsilon$sei eine einparametrige Untergruppe von$G$(unsere Symmetriegruppe) und let$\psi\mapsto\phi_\epsilon(\psi)$sei es die lineare Aktion auf dem Feld über die Darstellung. Offensichtlich haben wir aufgrund der Homomorphismus-Eigenschaft $$\phi_\epsilon(\phi_\tau(\psi))=\phi_{\epsilon+\tau}(\psi).$$ Die Variation des Lagrange ist definiert als $$\delta\mathcal L(\psi)=\frac{d}{d\epsilon}\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))|_{\epsilon=0}.$$ Nehmen Sie an, dass diese Variation für alle verschwindet (der Einfachheit halber ignoriere ich den Fall, dass die Lagrange-Funktion zu einer totalen Divergenz wird).$\psi$und jede Untergruppe mit einem Parameter. Dann ist die$\epsilon$-Ableitung verschwindet auch, wenn sie irgendwo ausgewertet wird, nicht nur bei 0. Um dies zu sehen, bedenken Sie $$\frac{d}{d\epsilon}\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))|_{\epsilon=\epsilon}=\frac{d}{d\tau}\mathcal L(\phi_\tau(\phi_\epsilon(\psi)))|_{\tau=0}=\delta\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi)).$$ Aber wir haben gesagt, dass die Variation in jedem Feld verschwindet , einschließlich des Feldes$\psi^\prime=\phi_\epsilon(\psi)$, also verschwindet das obige. $$\\$$ Daher erhalten wir das, wenn ein Lagrange-Operator infinitesimal symmetrisch unter ist$G$, es erfüllt auch $$\frac{d}{d\epsilon}\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))=0$$ für jede Untergruppe und jedes Feld mit einem Parameter, wobei diese Ableitung überall ausgewertet wird. Aber wir wissen, dass eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung überall verschwindet, überall konstant sein muss. Daher erhalten wir auch das $$\mathcal L(\psi)=\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))$$ für alle$\epsilon$(und auch Untergruppe und Feld mit einem Parameter usw.). $$\\$$ Nun ist dieses Ergebnis streng genommen nur für Gruppenelemente garantiert, die durch eine Ein-Parameter-Untergruppe erreicht werden können. Also gegeben$G$, können wir bilden$G^\prime=\exp(\mathfrak g)$, und was wir erhalten haben, ist, dass, wenn die Lagrange-Funktion infinitesimal symmetrisch ist unter$\mathfrak g$, dann ist es auch endlich symmetrisch unter$G^\prime=\exp(\mathfrak g)$. Die meisten Gruppen in der Physik, die für Noether-Symmetrien in Betracht gezogen werden, sind jedoch so beschaffen, dass alle Elemente aus der Lie-Algebra durch Exponentialisierung erreicht werden können.