SO(N)SO(N)SO(N) symmetrische Theorie der reellen Skalarfelder NNN, warum haben Ladungen korrekte Kommutierungsbeziehungen von Generatoren?

Question

SO(N)SO(N)SO(N) symmetrische Theorie der reellen Skalarfelder NNN, warum haben Ladungen korrekte Kommutierungsbeziehungen von Generatoren?

Benutzer166854

Betrachten Sie eine $SO(N)$ Symmetrische Theorie der $N$ echte Skalarfelder,

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} Φ^{A} \partial^{μ} Φ^{A} - \frac{1}{2} M^{2} Φ^{A} Φ^{A} - \frac{1}{4} λ (Φ^{A} Φ^{A})^{2} .

$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda(\Phi^a \Phi^a)^2.$ Betrachten Sie für die Quantentheorie die

S O (N)

$SO(N)$ Gebühren

{\hat{Q}}_{a b} = \int d^{3} x {\hat{J}}_{a b}^{0}

$\hat{Q}_{ab} = \int d^3 \textbf{x}\,\hat{J}_{ab}^0$ . Warum die Gebühren

{\hat{Q}}_{a b}

$\hat{Q}_{ab}$ richtige Kommutierungsbeziehungen der Generatoren haben

S O (N)

$SO(N)$ Symmetrie?

ACuriousMind

Bitte geben Sie eine Definition von an

{\hat{J}}_{a b}^{0}

$\hat{J}^0_{ab}$ . Zum Beispiel, wenn man sie "richtig" definiert, also als die konservierten Strömungen unter dem Offensichtlichen

S O (N)

$\mathrm{SO}(N)$ Symmetrie, wird die Frage ziemlich trivial, weil die erhaltenen Ladungen einer Symmetrie im Allgemeinen die Erzeuger dieser Symmetrie sind.

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SO(N)SO(N)SO(N) symmetrische Theorie der reellen Skalarfelder NNN, warum haben Ladungen korrekte Kommutierungsbeziehungen von Generatoren?

Bitte geben Sie eine Definition von an $\hat{J}^0_{ab}$ . Zum Beispiel, wenn man sie "richtig" definiert, also als die konservierten Strömungen unter dem Offensichtlichen $\mathrm{SO}(N)$ Symmetrie, wird die Frage ziemlich trivial, weil die erhaltenen Ladungen einer Symmetrie im Allgemeinen die Erzeuger dieser Symmetrie sind.

QMechaniker · Answer 1

Betrachten wir die entsprechende Hamilton-Theorie, so dass wir eine Vorstellung von einem Kommutator haben, den wir verwenden können, um eine Lie-Algebra-Klammer zu bilden. Betrachten wir außerdem der Einfachheit halber die klassische Theorie. Dann die Poisson-Klammer
$\begin{matrix} (1) & {Φ^{A} (X), Π_{B} (j)}_{P B} = δ_{B}^{A} δ^{3} (X - j), usw, \end{matrix}$ $\tag{1} \{\Phi^a({\bf x}),\Pi_b({\bf y})\}_{PB}~=~\delta^a_b~\delta^3({\bf x}-{\bf y}), \qquad \text{etc},$ spielt die Rolle des Kommutators.
Die Hamiltonsche Lagrange-Dichte ${\cal L}_H$ denn die Theorie von OP ist von der Form
$\begin{matrix} (2) & L_{H} = Π_{A} {\dot{Φ}}^{A} - H, H = \frac{1}{2} Π^{2} + v (Φ^{2}, (\nabla Φ)^{2}), \end{matrix}$ $\tag{2} {\cal L}_H~=~ \Pi_a \dot{\Phi}^a -{\cal H}, \qquad {\cal H} ~=~ \frac{1}{2} \Pi^2 +{\cal V}(\Phi^2, (\nabla\Phi)^2) ,$ wobei wir die Notation eingeführt haben $\begin{matrix} (3) & Φ^{2} := Φ^{A} G_{A B} Φ^{B}, Π^{2} := Π^{A} G_{A B} Π^{B}, usw . \end{matrix}$ $\tag{3} \Phi^2 :=\Phi^a g_{ab} \Phi^b, \qquad \Pi^2 :=\Pi^a g_{ab} \Pi^b, \qquad \text{etc}.$
Hier das $o(N)$ -Indizes $a,b,\ldots,$ werden mit einer konstanten Metrik angehoben und abgesenkt $g_{ab}$ . Der $O(N)$ Symmetrie
$\begin{matrix} (4) & δ Φ^{A} = ε {Φ^{A}, Q [ω]}_{P B} = ε ω^{A}_{B} Φ^{B}, δ Π^{A} = ε {Π^{A}, Q [ω]}_{P B} = ε ω^{A}_{B} Π^{B}, \end{matrix}$ $\tag{4} \delta \Phi^a ~=~ \varepsilon \{\Phi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Phi^b, \quad \delta \Pi^a ~=~ \varepsilon \{\Pi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Pi^b, \qquad$ hat Generatoren $\begin{matrix} (5) & Q [ω] := \frac{1}{2} ω_{A B} Q^{A B} = Π^{A} ω_{A B} Φ^{B}, Q^{A B} := \int D^{3} X (Π^{A} Φ^{B} - Φ^{A} Π^{B}), \end{matrix}$ $\tag{5} Q[\omega]~:= \frac{1}{2}\omega_{ab} Q^{ab} ~=~\Pi^a\omega_{ab}\Phi^b, \qquad Q^{ab}~:=~\int\! d^3x\left( \Pi^a\Phi^b-\Phi^a\Pi^b\right),$ Wo $\begin{matrix} (6) & ω_{A B} = - ω_{B A} \end{matrix}$ $\tag{6} \omega_{ab}~=~-\omega_{ba}$ sind antisymmetrische Matrizen.
Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass die mit der Poisson-Klammer (1) ausgestatteten Generatoren (5) eine bilden $o(N)$ Lügen-Algebra. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
Die Noether-Ladungen sind der Generator der Symmetrie, wie es immer bei Hamiltonschen Theorien der Fall ist, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Dies kann auch im obigen Fall ausdrücklich bestätigt werden.
Wir schließen daraus, dass die Noether-Ladungen (5) eine bilden $o(N)$ Lügen-Algebra.
Schließlich scheint OP auch eine allgemeinere Frage zu stellen, ob eine Symmetrie einer Aktion zu einer Symmetrie der entsprechenden Noether-Ladungen führt? Dies ist eine gute Frage und wird zB in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert. Die Antwort lautet: Nicht immer! Es können sowohl klassische als auch quantenmechanische Hindernisse/Anomalien vorliegen, wie zB Zentralladungen und 2-Kozyklen.

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Benutzer166854

ACuriousMind

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QMechaniker

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