Satz von Noether: Lie-Gruppen vs. Lie-Algebren; endliche vs. infinitesimale Symmetrien

Ich habe ähnliche Threads zu diesem Thema kurz durchgesehen, um zu sehen, ob meine Frage bereits beantwortet wurde, aber ich habe nicht ganz das gefunden, wonach ich gesucht habe, vielleicht liegt es daran, dass es mir schwer fällt, Worte zu finden meine Frage und ich hoffe, dass Sie mir helfen können, sie klar zu stellen.

Ich versuche, das, was ich aus der Mathematik weiß, mit dem zu verknüpfen, was wir in der Physik für Noethers Theorem schreiben. Wenn ich das richtig verstehe, betrachten wir die Symmetrien der Aktion, dh unter welchen Symmetriegruppen ist sie invariant. Der Satz von Noether erlaubt es uns, einen erhaltenen Strom im Fall einer kontinuierlichen Symmetrie (Lie-Gruppen) zu berechnen, und zwar mittels sogenannter infinitesimaler Symmetrien, die ich für Elemente der Lie-Algebra (also des Tangentialraums an das neutrale Element) halte die Lie-Gruppe.

Ich vermute, wenn die Aktion unter der Symmetrie invariant ist, sollte ihre "Variation" 0 sein, wenn wir das System (Raum-Zeit-Koordinate oder Feld) mit dieser Symmetrie variieren; genau diesen schritt möchte ich besser verstehen, wie kann ich diesen schritt mathematisch korrekt formalisieren? Wie soll ich diese Variation verstehen und wie führt ihre Berechnung zu den Elementen der Lie-Algebra?

Antworten (1)

  1. Noethers (erster) Satz handelt eigentlich nicht von Lie-Gruppen, sondern nur von Lie-Algebren, dh man braucht eben n infinitesimale Symmetrien abzuleiten n Erhaltungsgesetze.

  2. Der dritte Satz von Lie garantiert, dass eine endlichdimensionale Lie-Algebra in eine Lie-Gruppe potenziert werden kann, vgl. zB Wikipedia & n-Lab .

  3. Wenn man nur daran interessiert ist, die zu bekommen n Erhaltungsgesetze eins nach dem anderen (und nicht so sehr daran interessiert, dass die n Erhaltungssätze bilden oft zusammen eine Darstellung der Lie-Algebra L ), dann kann man sich auf eine 1-dimensionale Unteralgebra der Abelschen Lie konzentrieren u ( 1 ) ≅ R .

  4. Im Kontext der Feldtheorie sollte es Homomorphismen der Lie-Algebra aus der Lie-Algebra geben L zur Lie-Algebra der Vektorfelder auf dem Feldkonfigurationsraum (sogenannte vertikale Transformationen) und zur Lie-Algebra die Vektorfelder der Raumzeit (sogenannte horizontale Transformationen).

  5. Dass die Aktion funktioniert S [ ϕ ] besitzt eine Symmetrie (Quasisymmetrie) bedeutet, dass die entsprechenden Lie-Ableitungen von S wrt. die obigen Vektorfelder sollten verschwinden (ein Randterm sein).

  6. Beachten Sie, dass die Noether-Ströme und -Ladungen nicht immer eine Darstellung der Lie-Algebra bilden L . Es könnten zB zentrale Erweiterungen auftreten, vgl. dies und diese Phys.SE Beiträge.

1. Wenn ich also wie in 3) wähle, um eine 1-dimensionale Unteralgebra zu betrachten, habe ich daher 1 Generator und einen Parameter (sagen wir einen Winkel), in Bezug auf den ich unterscheiden kann: Ich würde die Änderung der Lagrange-Funktion betrachten Was sollte in Bezug auf die Änderung des Winkels Null sein? 2. Ein anderer Gedanke, der mir in den Sinn kommt (wahrscheinlich eine einfache Frage), impliziert die Invarianz in Bezug auf die "reale" Transformation (damit meine ich das Element der Lie-Gruppe) eine Invarianz in Bezug auf die "infinitesimale" Symmetrie?
1. Abgesehen von der Frage Lagrange vs. Action, dann ja. 2. Ja.
Zu Frage 2. Wie kann ich das sehen? Vielleicht ist dies der Link, den ich vermisse, da die Tangentenvektoren nicht unbedingt Elemente der Gruppe selbst sind ...
1. Erstens sollte es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus geben Φ aus der Lie-Gruppe G zur Gruppe der Diffeomorphismen/Ströme auf dem entsprechenden Raum. 2. Zweitens die Aktion funktional S sollte unveränderlich sein, wenn die Felder mit den obigen Flüssen zusammengesetzt werden. 3. Die Ableitung Φ ∗ dieser Abbildung wird zu einer Lie-Algebra Homomorphismen aus der Lie-Algebra L zur Lie-Algebra der Vektorfelder. 4. Kombiniere nun diese Tatsachen, um das zu zeigen S muss unter den entsprechenden Vektorfeldern invariant sein.
Satz von Noether: Lie-Gruppen vs. Lie-Algebren; endliche vs. infinitesimale Symmetrien
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v